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Cálculos a partir de magnitudes cinemáticas instantáneas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un instante dado, una partícula ocupa la posición \vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}, tiene una velocidad \vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y una aceleración \vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

  1. ¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s²?
  2. ¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?
  3. ¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo \Delta t = 10\,\mathrm{s} más tarde?

2 Componentes de la aceleración

2.1 Aceleración tangencial

No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección paralela sobre la velocidad

a_t = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}

Siendo

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{a}\cdot\vec{v}=\left(0\cdot 0+0\cdot 4.00+(-2.50)\cdot 3.00)\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=-7.50\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}         |\vec{v}|=\sqrt{0^2+4.00^2+3.00^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

obtenemos

a_t = -\frac{7.50}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

2.2 Aceleración normal

Podemos hallar la aceleración normal mediante la proyección ortogonal

a_n = \frac{|\vec{a}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}

siendo

\vec{a}\times\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\times(-2.50\vec{k})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3} = (-10.0\vec{\imath})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}        |\vec{v}\times\vec{a}|=10.0\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</center>

(no es necesario hallar el determinante; es más corto multiplicar término a término y aplicar que \vec{\jmath}\times\vec{k}=\vec{\imath} y \vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}).

Obtenemos la aceleración normal

<center>a_n = \frac{10.0}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=2.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

La aceleración normal puede también hallarse a partir de los módulos de la aceleración completa y la tangencial

a_n = \sqrt{|\vec{a}|^3-a_t^2}

3 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura

R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}= \frac{(5.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{m}

4 Posición un tiempo más tarde

Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculos_a_partir_de_magnitudes_cinem%C3%A1ticas_instant%C3%A1neas"

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