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Cálculos a partir de magnitudes cinemáticas instantáneas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un instante dado, una partícula ocupa la posición \vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}, tiene una velocidad \vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y una aceleración \vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Para este instante, halle

  1. Su rapidez
  2. Su aceleración tangencial y su aceleración normal
  3. Los vectores tangente y normal a la trayectoria
  4. El radio de curvatura de la trayectoria
  5. El centro de curvatura
  6. ¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo \Delta t = 10\,\mathrm{s} más tarde?

2 Rapidez

Es el módulo de la velocidad

|\vec{v}|=\sqrt{0^2 +4.00^2+3.00^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 5.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Componentes de la aceleración

3.1 Aceleración tangencial

No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección sobre la velocidad. En forma escalar


a_t = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}

Siendo

\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(0\cdot 0+0\cdot 4.00+(-2.50)\cdot 3.00\right)\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=-7.50\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}

obtenemos

a_t = -\frac{7.50}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y en forma vectorial

\vec{a}_t = \frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=a_t\vec{T}=-1.50\left(0.80\vec{\jmath}+0.60\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=\left(-1.20\vec{\jmath}-0.90\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

donde el vector tangente es igual a la velocidad dividida por la rapidez

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = 0.80\vec{\jmath}+0.60\vec{k}

3.2 Aceleración normal

Podemos hallar la aceleración normal mediante la proyección ortogonal

a_n = \frac{|\vec{a}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}

siendo

\vec{a}\times\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\times(-2.50\vec{k})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3} = (-10.0\vec{\imath})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}        |\vec{v}\times\vec{a}|=10.0\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}

(no es necesario hallar el determinante; es más corto multiplicar término a término y aplicar que \vec{\jmath}\times\vec{k}=\vec{\imath} y \vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}).

Obtenemos la aceleración normal

a_n = \frac{10.0}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=2.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

La aceleración normal puede también hallarse a partir de los módulos de la aceleración completa y la tangencial

a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}

En forma vectorial se halla el doble producto vectorial

\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2} = \left(1.20\vec{\jmath}-1.60\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

o bien se calcula restando vectorialmente la aceleración tangencial

\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t=\left(1.20\vec{\jmath}-1.60\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

4 Vectores tangente y normal

El vector tangente ya lo hemos calculado

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = 0.80\vec{\jmath}+0.60\vec{k}

y el normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n} = 0.60\vec{\jmath}-0.80\vec{k}

5 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura

R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}= \frac{(5.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{m}

6 Centro de curvatura

Conocidos la posición, el radio de curvatura y el vector normal, hallamos el centro de curvatura para ese instante

\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}=\left((5.00\vec{k})+12.5\left(0.60\vec{\jmath}-0.80\vec{k}\right)\right)\,\mathrm{m} = \left(7.50\vec{\jmath}-5.00\vec{k}\right)\mathrm{m}

7 Posición un tiempo más tarde

Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.

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