Cálculos a partir de magnitudes cinemáticas instantáneas
De Laplace
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1 Enunciado
En un instante dado, una partícula ocupa la posición , tiene una velocidad y una aceleración . Para este instante, halle
- Su rapidez
- Su aceleración tangencial y su aceleración normal
- Los vectores tangente y normal a la trayectoria
- El radio de curvatura de la trayectoria
- El centro de curvatura
- ¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo más tarde?
2 Rapidez
Es el módulo de la velocidad
3 Componentes de la aceleración
3.1 Aceleración tangencial
No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección sobre la velocidad. En forma escalar
Siendo
obtenemos
y en forma vectorial
donde el vector tangente es igual a la velocidad dividida por la rapidez
3.2 Aceleración normal
Podemos hallar la aceleración normal mediante la proyección ortogonal
siendo
(no es necesario hallar el determinante; es más corto multiplicar término a término y aplicar que y ).
Obtenemos la aceleración normal
La aceleración normal puede también hallarse a partir de los módulos de la aceleración completa y la tangencial
En forma vectorial se halla el doble producto vectorial
o bien se calcula restando vectorialmente la aceleración tangencial
4 Vectores tangente y normal
El vector tangente ya lo hemos calculado
y el normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo
5 Radio de curvatura
Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura
6 Centro de curvatura
Conocidos la posición, el radio de curvatura y el vector normal, hallamos el centro de curvatura para ese instante
7 Posición un tiempo más tarde
Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.