Ejemplo de integración numérica

De Laplace

Revisión a fecha de 18:36 4 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de $s = 0$ .

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en $t=16\,\mathrm{s}$ .
Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es

$v = \sqrt{1+16t-t^2}$

¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

2 Solución numérica

Si conocemos la velocidad instantánea, podemos hallar el desplazamiento a base de sumar los desplazamientos diferenciales

$\Delta s = \int_0^T v(t)\,\mathrm{d}t$

Gráficamente, esto equivale a hallar el área bajo la curva de la velocidad frente al tiempo.

Examinando la figura, podemos ver que la curva corta la cuadrícula en los puntos de coordenadas enteras (en el SI) (0,1), (1,4), (4,7), (7,8), (9,8), (12,7), (15,4) y (16,1):

El área bajo la curva puede entonces ser aproximada por una suma de trapecios, siendo la fórmula para el área de cada uno

$\Delta S = \frac{b+B}{2}h = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}\Delta t$

Aplicando esto a nuestro caso obtenemos el desplazamiento aproximado

$\Delta s = \left(\frac{1+4}{2}\cdot 1+\frac{4+7}{2}\cdot 3+\frac{7+8}{2}\cdot 3+\frac{8+8}{2}\cdot 2 + \frac{8+7}{2}\cdot 3+\frac{7+4}{2}\cdot 3+\frac{4+1}{2}\cdot 1\right)\,\mathrm{m} = 99\,\mathrm{m}$

3 Solución analítica

Integrando analíticamente la función obtenemos

$\Delta s =\int_0^16 \sqrt{1+16t-t^2}\,\mathrm{d}t = \left(8 + 65\,\mathrm{arcsen}\left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)\right)\,\mathrm{m}\simeq 102\,\mathrm{m}$

siendo el error relativo cometido

$\epsilon=\left|\frac{99-102}{102}\right| \simeq 0.03 = 3\%$

esto es un error de solo un 3%, siendo los cálculos numéricos mucho más fáciles que los exactos.

Ejemplo de integración numérica

De Laplace

1 Enunciado

2 Solución numérica

3 Solución analítica

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES