Energía en una esfera conductora con dieléctrico

De Laplace

Revisión a fecha de 09:28 22 may 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Energía sin dieléctrico
3 Energía a carga constante
4 Energía a potencial constante

1 Enunciado

Una esfera metálica de radio $R$ se encuentra aislada y almacena una carga $Q$ . La esfera se encuentra en el vacío.

Indique la energía almacenada en el sistema
Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor $a$ de un dieléctrico de permitividad $\varepsilon$ . Determine la nueva energía almacenada en el sistema. ¿Cómo se explica el cambio en la energía?
Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generador que fija su potencial en un valor $V 0$ , ¿cuál es la energía antes y después del recubrimiento? ¿Cómo se interpreta el cambio en este caso?

2 Energía sin dieléctrico

La energía antes de introducir el dieléctrico puede hallarse a partir de la capacidad de un conductor, o a partir de la energía de una distribución superficial de carga. Su valor es

$U_\mathrm{e} = \frac{Q^2}{2C}= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$

3 Energía a carga constante

Cuando se incluye el dieléctrico podemos calcular la energía de dos formas alternativas.

3.1 Energía de conductores cargados

La primera es mediante la expresión

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}QV$

donde $V$ es el potencial al cual se encuentra la esfera metálica. A su vez, podemos determinar este potencial a partir del campo eléctrico, o mediante un circuito equivalente.

En el segundo caso, podemos describir el sistema como formado por dos condensadores en serie. El primero es uno esférico, de radios $R$ y $R + a$ , con permitividad $\varepsilon$ . El segundo es el que forma con el infinito una esfera de radio $R + a$ y permitividad $\varepsilon_0$ . La capacidad equivalente del sistema verifica

$\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{a}{4\pi\varepsilon R(R+a)}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 (R+a)}=\frac{\varepsilon R+\varepsilon_0 a}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}$

lo que nos da un potencial para la esfera y una energía para el sistema

$V=\frac{Q}{C_\mathrm{eq}}=\frac{(\varepsilon R+\varepsilon_0 a)Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}$ $U_\mathrm{e} = \frac{Q^2}{2C_\mathrm{eq}}= \frac{(\varepsilon R+\varepsilon_0 a)Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}$

3.2 Energía almacenada en los campos

El método alternativo para hallar la energía es a partir de la integral de su densidad

$U_\mathrm{e} = \int u_e\,\mathrm{d}\tau$ $u_\mathrm{e}=\frac{1}{2} \mathbf{E}{\cdot}\mathbf{D}$

Debemos determinar los valores de los campos en el exterior de la esfera. Por la simetría del sistema, estos campos serán radiales y dependientes sólo de la distancia al centro de la esfera. Aplicando la ley de Gauss al desplazamiento eléctrico queda

$Q=\oint \mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = 4\pi r^2 D$ $\Rightarrow$ $\mathbf{D} = \frac{Q\mathbf{u}_{r}}{4\pi r^2}$

esto es, en este caso el vector desplazamiento tiene la misma expresión dentro y fuera del dieléctrico. El campo eléctrico vendrá dado por

$\mathbf{E} = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q\mathbf{u}_{r}}{4\pi\varepsilon_r^2 } & (R<r<R+a)\\ & \\ \displaystyle\frac{Q\mathbf{u}_{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^2 } & (r>R+a)\end{cases}$

y la energía total será suma de dos integrales

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\left(\int\!\! d\Omega\left(\int_R^{R+a}\!\!\!\!\!\!\mathrm{d}r\,r^2\frac{Q^2}{(4\pi)^2\varepsilon_r^4}+ \int_{R+a}^\infty\!\!\!\! \mathrm{d}r\,r^2\frac{Q^2}{(4\pi)^2\varepsilon_0 r^4}\right)\right)=$ $\frac{ Q^2}{8\pi}\left(\frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+a}\right)+ \frac{1}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R+a}\right)\right) =\frac{(\varepsilon R+\varepsilon_0 a)Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}$

3.3 Variación en la energía

La variación de energía en el proceso será

$\Delta U_\mathrm{e} = \frac{(\varepsilon R+\varepsilon_0 a)Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}-\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}=-\frac{a(\varepsilon - \varepsilon_0)Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R(R+a)}$

Esta variación es negativa, indicando que el sistema libera energía. La razón es que el dieléctrico tiende a polarizarse espontáneamente. En presencia del campo externo los dipolos se forman y orientan solos, disipando energía en el proceso. Esta energía se libera normalmente en forma de calor, debido a la fricción interna entre las moléculas del dieléctrico.

4 Energía a potencial constante

Energía en una esfera conductora con dieléctrico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Energía sin dieléctrico

3 Energía a carga constante

3.1 Energía de conductores cargados

3.2 Energía almacenada en los campos

3.3 Variación en la energía

4 Energía a potencial constante

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