Energía en una esfera conductora con dieléctrico

De Laplace

1 Enunciado

Una esfera metálica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuentra en el vacío.

1. Indique la energía almacenada en el sistema
2. Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de un dieléctrico de permitividad . Determine la nueva energía almacenada en el sistema. ¿Cómo se explica el cambio en la energía?
3. Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generador que fija su potencial en un valor V₀, ¿cuál es la energía antes y después del recubrimiento? ¿Cómo se interpreta el cambio en este caso?

2 Energía sin dieléctrico

La energía antes de introducir el dieléctrico puede hallarse a partir de la capacidad de un conductor, o a partir de la energía de una distribución superficial de carga. Su valor es

3 Energía a carga constante

Cuando se incluye el dieléctrico podemos calcular la energía de dos formas alternativas.

3.1 Energía de conductores cargados

La primera es mediante la expresión

donde V es el potencial al cual se encuentra la esfera metálica. A su vez, podemos determinar este potencial a partir del campo eléctrico, o mediante un circuito equivalente.

En el segundo caso, podemos describir el sistema como formado por dos condensadores en serie. El primero es uno esférico, de radios R y R + a, con permitividad . El segundo es el que forma con el infinito una esfera de radio R + a y permitividad . La capacidad equivalente del sistema verifica

lo que nos da un potencial para la esfera y una energía para el sistema

        

3.2 Energía almacenada en los campos

El método alternativo para hallar la energía es a partir de la integral de su densidad

        

Debemos determinar los valores de los campos en el exterior de la esfera. Por la simetría del sistema, estos campos serán radiales y dependientes sólo de la distancia al centro de la esfera. Aplicando la ley de Gauss al desplazamiento eléctrico queda

      

esto es, en este caso el vector desplazamiento tiene la misma expresión dentro y fuera del dieléctrico. El campo eléctrico vendrá dado por

y la energía total será suma de dos integrales

3.3 Variación en la energía

La variación de energía en el proceso será

Esta variación es negativa, indicando que el sistema libera energía. La razón es que el dieléctrico tiende a polarizarse espontáneamente. En presencia del campo externo los dipolos se forman y orientan solos, disipando energía en el proceso. Esta energía se libera normalmente en forma de calor, debido a la fricción interna entre las moléculas del dieléctrico.

4 Energía a potencial constante

Si tenemos la esfera a potencial V₀ el análisis es similar. La energía inicial es

Tras la colocación del dieléctrico, la nueva energía almacenada vale

La variación en la energía almacenada es ahora positiva

Parecería que, si el conductor está a potencial constante el dieléctrico requiere energía para polarizarse, absorbiendo energía (quizás en forma de calor). Sin embargo, no es así. En un proceso a potencial constante, existe un agente adicional, que es el generador que fija la tensión. Este generador realiza un trabajo igual al producto de la carga por el potencial al cual la sitúa, esto es,

Al ser una fuente de tensión continua, el potencial puede salir de la integral. Relacionando las cargas iniciales y finales con el voltaje, queda

esto es, el generador realiza un trabajo superior al aumento en la energía almacenada (el doble, para ser exactos). Esto quiere decir que parte del trabajo del generador se ha perdido, disipándose en forma de calor. Este término de pérdidas sí es el que corresponde a la polarización del dieléctrico

En el primer caso, con carga constante, W_g = 0 y queda W_d = − ΔU > 0, con lo que el signo de W_d es el mismo en ambos casos.