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Microtira situada entre dos placas

De Laplace

1 Enunciado

Sobre una placa metálica plana, de sección S (que supondremos en z = 0), se coloca una capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_1 con espesor a. Sobre esta capa se sitúa una lámina metálica, de sección S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segunda capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_2 y espesor b. Por último, el sistema se cierra con una segunda lámina metálica de sección S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3, ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo \mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}) y los posibles campos exteriores al sistema.

2 Solución

La forma más simple de abordar este problema es por medio del circuito equivalente.

La configuración del sistema permite dividir el espacio entre las placas en cuatro regiones:

  1. La región de sección S0 y espesor a, comprendida entre la placa inferior y la región intermedia.
  2. La de sección S0 y espesor b, situada entre la placa intermedia y la superior.
  3. La de sección S − S0 y espesor $a$ situada entre la placa inferior y la interfaz entre los dos dieléctricos. Nótese que esta región comprende las partes del dieléctrico situadas a izquierda y derecha de la placa intermedia, ya que son completamente análogas.
  4. La de sección S − S0 situada entre la interfaz y la placa superior.

Si despreciamos completamente los efectos de borde en el sistema y consideramos que el campo en cada una de las regiones va en la dirección \mathbf{u}_{z}, cada zona se comporta como un condensador de placas planas y paralelas, siendo las respectivas capacidades

C_\mathrm{I} = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}        C_\mathrm{II} = \frac{\varepsilon_2S_0}{b}         C_\mathrm{III}= \frac{\varepsilon_1(S-S_0)}{a}        C_\mathrm{IV}= \frac{\varepsilon_2(S-S_0)}{b}

El circuito equivalente al sistema está formado en primer lugar, por un nodo que representa a cada conductor. Llamaremos nodo “1” a la placa inferior, “2” a la intermedia, y “3” a la superior. Entre los nodos 1 y 2 se encuentra el condensador CI, mientras que el CII se encuentra situado entre el conductor 2 y el 3. Entre las placas 1 y 3 el condensador está formado por una asociación en serie de los condensadores CIII y CIV.

Con esto tenemos la siguientes capacidades

\overline{C}_{12}= \frac{\varepsilon_1S_0 }{a}        \overline{C}_{23}= \frac{\varepsilon_2S_0 }{b}        \overline{C}_{13}= \frac{C_\mathrm{III}C_\mathrm{IV}}{C_\mathrm{III}+C_\mathrm{IV}}= \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0) }{\varepsilon_1b+\varepsilon_1a}

Las autocapacidades \overline{C}_{ii} son todas nulas, ya que despreciamos los campos exteriores al sistema.

Estas capacidades pueden determinarse detalladamente como se indica en otros problemas.

Con esto, resultan las relaciones entre las cargas y los potenciales. Para la placa inferior tenemos

Q_1=\overline{C}_{12} (V_1-V_2) + \overline{C}_{13}(V_1-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_1-V_2)+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_1-V_3)= \left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1 -\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_2-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_3

Para la intermedia

Q_2=\overline{C}_{12} (V_2-V_1) + \overline{C}_{23}(V_2-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_2-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_2-V_3)=-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_1 +\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2- \left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3

Y para la superior

Q_3=\overline{C}_{13} (V_3-V_1) + \overline{C}_{23}(V_3-V_2) = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_3-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_3-V_2)=-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1 -\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2 +\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3

o, en forma matricial

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathsf{C}=\begin{pmatrix} \displaystyle \left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right) & -\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right & -\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)\end{pmatrix}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Microtira_situada_entre_dos_placas"

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