Microtira situada entre dos placas

De Laplace

1 Enunciado

Sobre una placa metálica plana, de sección

S

(que supondremos en

z = 0

), se coloca una capa de dieléctrico de permitividad $\varepsilon_1$ con espesor

a

. Sobre esta capa se sitúa una lámina metálica, de sección

S 0 < S

, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segunda capa de dieléctrico de permitividad $\varepsilon_2$ y espesor

b

. Por último, el sistema se cierra con una segunda lámina metálica de sección

S

.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales $V 1$ , $V 2$ y $V 3$ , ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo $\mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}$ ) y los posibles campos exteriores al sistema.

2 Solución

La forma más simple de abordar este problema es por medio del circuito equivalente.

La configuración del sistema permite dividir el espacio entre las placas en cuatro regiones:

I: La región de sección $S 0$ y espesor $a$ , comprendida entre la placa inferior y la región intermedia.
II: La de sección $S 0$ y espesor $b$ , situada entre la placa intermedia y la superior.
III: La de sección $S - S 0$ y espesor $a$ situada entre la placa inferior y la interfaz entre los dos dieléctricos. Nótese que esta región comprende las partes del dieléctrico situadas a izquierda y derecha de la placa intermedia, ya que son completamente análogas.
IV: La de sección $S - S 0$ situada entre la interfaz y la placa superior.

Si despreciamos completamente los efectos de borde en el sistema y consideramos que el campo en cada una de las regiones va en la dirección $\mathbf{u}_{z}$ , cada zona se comporta como un condensador de placas planas y paralelas, siendo las respectivas capacidades

$C_\mathrm{I} = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}$ $C_\mathrm{II} = \frac{\varepsilon_2S_0}{b}$ $C_\mathrm{III}= \frac{\varepsilon_1(S-S_0)}{a}$ $C_\mathrm{IV}= \frac{\varepsilon_2(S-S_0)}{b}$

El circuito equivalente al sistema está formado en primer lugar, por un nodo que representa a cada conductor. Llamaremos nodo “1” a la placa inferior, “2” a la intermedia, y “3” a la superior. Entre los nodos 1 y 2 se encuentra el condensador $C I$ , mientras que el $C II$ se encuentra situado entre el conductor 2 y el 3. Entre las placas 1 y 3 el condensador está formado por una asociación en serie de los condensadores $C III$ y $C IV$ .

Con esto tenemos la siguientes capacidades

$\overline{C}_{12}= \frac{\varepsilon_1S_0 }{a}$ $\overline{C}_{23}= \frac{\varepsilon_2S_0 }{b}$ $\overline{C}_{13}= \frac{C_\mathrm{III}C_\mathrm{IV}}{C_\mathrm{III}+C_\mathrm{IV}}= \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0) }{\varepsilon_1b+\varepsilon_1a}$

Las autocapacidades $\overline{C}_{ii}$ son todas nulas, ya que despreciamos los campos exteriores al sistema.

Estas capacidades pueden determinarse detalladamente como se indica en el problema de un condensador con dos capas de dieléctrico.

Con esto, resultan las relaciones entre las cargas y los potenciales. Para la placa inferior tenemos

$Q_1=\overline{C}_{12} (V_1-V_2) + \overline{C}_{13}(V_1-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_1-V_2)+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_1-V_3)=$ $\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1 -\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_2-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_3$

Para la intermedia

$Q_2=\overline{C}_{12} (V_2-V_1) + \overline{C}_{23}(V_2-V_3) = \frac{\varepsilon_1S_0}{a}(V_2-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_2-V_3)=$ $-\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}\right)V_1 +\left(\frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2- \left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3$

Y para la superior

$Q_3=\overline{C}_{13} (V_3-V_1) + \overline{C}_{23}(V_3-V_2) = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}(V_3-V_1)+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}(V_3-V_2)=$ $-\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\right)V_1 -\left(\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_2 +\left(\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b}\right)V_3$

o, en forma matricial, tenemos que

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ \\ Q_2 \\ \\ Q_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a} & \displaystyle -\frac{\varepsilon_1S_0}{a} & \displaystyle -\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}\\ & & \\ \displaystyle -\frac{\varepsilon_1S_0}{a} & \displaystyle \frac{\varepsilon_1S_0}{a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b} & \displaystyle -\frac{\varepsilon_2S_0}{b} \\ && \\ \displaystyle -\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a} & \displaystyle -\frac{\varepsilon_2S_0}{b} & \displaystyle \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2(S-S_0)}{\varepsilon_1b+\varepsilon_2a}+\frac{\varepsilon_2S_0}{b} \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ \\ V_2 \\ \\ V_3\end{pmatrix}$

Podemos ver que la matriz de coeficientes de capacidad es simétrica, con su diagonal positiva y elementos no diagonales negativos. En este caso, por no haber capacidades con el infinito la suma de cada fila y de cada columna es nula.

Microtira situada entre dos placas

De Laplace

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES