Vector desplazamiento

De Laplace

Revisión a fecha de 20:22 1 mar 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Ecuaciones de la electrostática en dieléctricos
2 Definición del vector desplazamiento
3 Ecuaciones en función de E y D
4 Ejemplos de aplicación
5 Relaciones constitutivas
6 Densidad de corriente de desplazamiento

1 Ecuaciones de la electrostática en dieléctricos

Cuando se tienen en cuenta las densidades de carga de polarización las ecuaciones de la electrostática se escriben

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_p+\rho_l}{\varepsilon_0}$ $\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\,$

siendo

$\rho_p=-\nabla\cdot\mathbf{P}\,$

la densidad volumétrica de carga de polarización y $ρ l$ la densidad volumétrica de carga libre, esto es, aquella que no está asociada a la polarización del material.

En forma integral estas ecuaciones se escriben

$\oint_{\partial\tau} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_p+Q_l}{\varepsilon_0}$ $\oint_\Gamma \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0$

Cuando tanto las densidades de carga libre como la polarización del medio son cantidades conocidas, estas ecuaciones (junto con las correspondientes condiciones de salto y de contorno) permiten determinar completamente el campo eléctrico.

Sin embargo, lo habitual es que la polarización de un material no sea conocida de antemano, sino que sea provocada por la acción del campo eléctrico sobre el material (induciendo dipolos o rotando los ya existentes). Así pues, el campo eléctrico es simultáneamente causa y efecto de la polarización. En términos matemáticos, esto significa que las ecuaciones escritas arriba no son completas pues tanto $\mathbf{E}$ como $ρ p$ son cantidades desconocidas.

Podemos eliminar formalmente la densidad de carga de polarización observando que la ley de Gauss se puede transformar de la manera siguiente:

$\nabla\cdot\mathbf{E}=-\frac{\nabla\cdot\mathbf{P}}{\varepsilon_0}+\frac{\rho_l}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\nabla\cdot\left(\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\right)=\rho_l$

Si llamamos

$\mathbf{D}\equiv\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$

la ley de Gauss queda simplemente

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l$

A este campo vectorial $\mathbf{D}$ se le denomina vector desplazamiento.

2 Definición del vector desplazamiento

3 Ecuaciones en función de E y D

4 Ejemplos de aplicación

5 Relaciones constitutivas

6 Densidad de corriente de desplazamiento

Vector desplazamiento

De Laplace

Contenido

1 Ecuaciones de la electrostática en dieléctricos

2 Definición del vector desplazamiento

3 Ecuaciones en función de E y D

4 Ejemplos de aplicación

5 Relaciones constitutivas

6 Densidad de corriente de desplazamiento

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