Dipolo magnético

De Laplace

Revisión a fecha de 19:00 4 abr 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Definición
2 Distribución del campo magnético
3 Momento dipolar magnético
- 3.1 Para una distribución de corriente
  - 3.1.1 Ejemplo: espira
  - 3.1.2 Ejemplo: esfera rotante
4 Campo magnético de un dipolo
- 4.1 Demostración
- 4.2 Analogía con el dipolo eléctrico
5 Acción de un campo externo sobre un dipolo
6 Dipolos de Ampère y dipolos de Gilbert

1 Definición

Un dipolo magnético es un elemento puntual que produce un campo magnético dipolar

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

(situando el origen de coordenadas en el elemento). Este campo corresponde a un potencial vector

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}$

Aunque lo habitual es definir el dipolo magnético como una pequeña espira o distribución de corriente, realmente lo que lo define es el campo que produce. Una partícula elemental, como el electrón, produce un campo magnético dipolar y por tanto es un dipolo magnético aunque no sea una corriente eléctrica.

2 Distribución del campo magnético

El campo magnético de un dipolo magnético posee la misma estructura que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico: líneas en forma de lóbulos que van del polo norte del dipolo hacia el polo sur.

En coordenadas esféricas, el potencial vector de un dipolo se escribe

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0m\,\mathrm{sen}\,\theta}{4\pi r^2}\mathbf{u}_\varphi$

(tomando la dirección del eje Z como a la que apunta el dipolo). El campo correspondiente es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta)$

El campo magnético depende de la distancia como $1 / r 3$ , esto es, a doble de distancia, octava parte de campo.

3 Momento dipolar magnético

La cantidad que caracteriza a un dipolo es su momento magnético dipolar, $\mathbf{m}$ .

De las expresiones anteriores, se deduce que la unidad del momento magnético en el Sistema Internacional es 1 A·m² (o, equivalentemente 1 J/T). Este valor es muy grande para las situaciones habituales. Por ejemplo, los momentos de las partículas elementales son cantidades del orden de un magnetón de Bohr

$\mu_\mathrm{B} = {{e \hbar} \over {2 m_\mathrm{e}c}}= 927.400 915(23)\times 10^{-26}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}$

Este momento dipolar puede provenir de la existencia de una corriente localizada, o ser una propiedad intrínseca del sistema, asociada al espín.

3.1 Para una distribución de corriente

Artículo completo: Desarrollo multipolar magnético

Al desarrollar el potencial vector magnético de una distribución localizada de corriente se obtiene que el primer término no nulo del desarrollo es el término dipolar. El valor de $\mathbf{m}$ para una pequeña espira de corriente es

$\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I}{2}\oint_\Gamma\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}$

siendo $\mathbf{S}$ el vector superficie correspondiente a la curva.

Las expresiones correspondientes a una distribución volumétrica y una superficial son

$\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'$ $\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'$

En caso de que tengamos varias distribuciones simultáneamente, el momento dipolar será la superposición de los momentos individuales.

3.1.1 Ejemplo: espira

Para una espira plana, el momento magnético tiene por módulo el producto de la corriente por el área de la porción plana delimitado por la espira, y por sentido el normal a la superficie, según la regla de la mano derecha (si la corriente es positiva; en sentido opuesto en caso contrario).

Como ejemplos elementales:

Espira rectangular: En el caso más sencillo, de una espira rectangular de lados $a$ y $b$ , el momento magnético será

$\mathbf{m}=Iab\mathbf{n}\,$

Si consideramos los lados de la espira como vectores, esta expresión equivale a

$\mathbf{m}=I\mathbf{a}\times\mathbf{b}\,$

Espira circular: Para una espira circular el momento es

$\mathbf{m}=I\pi R^2\,\mathbf{n}$

Para una espira alabeada el vector superficie tiene por componentes las áreas de las proyecciones de la superficie sobre los planos coordenados. El momento magnético es igual a este vector multiplicado por la corriente.

Espira tridimensional: Consideremos una espira alabeada formada por tres cuadrantes de circunferencia, de radio $R$ que van de $R\mathbf{u}_x$ a $R\mathbf{u}_y$ , de ahí a $R\mathbf{u}_z$ , y de vuelta a $R\mathbf{u}_x$ . Tal como se ve en artículo sobre el vector superficie, para esta superficie tenemos

$\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I\pi R^2}{4}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)$

3.1.2 Ejemplo: esfera rotante

Artículo completo: Momento magnético de una esfera en rotación

Un caso particular de corriente de volumen localizada en el espacio es el de una distribución de carga en rotación. Este modelo puede ayudar a describir el comportamiento de una partícula cargada, como un electrón, que se caracteriza por un momento angular (el espín), equivalente en ciertos aspectos a una rotación.

Supongamos una esfera de radio $R$ , con una carga $q$ distribuida uniformemente en el volumeny que gira en torno a un eje (que tomaremos como eje Z) con velocidad angular $\mathbf{w}$ . Para este sistema la densidad de corriente es, en esféricas

$\mathbf{J}=\rho_0\mathbf{v}=\rho_0\mathbf{w}\times\mathbf{r}=\rho_0\omega r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\varphi$ $\rho_0=\frac{q}{4\pi R^3/3}$

llevando esto a la integral resulta el momento magnético

$\mathbf{m}=\frac{q R^2}{5}\mathbf{w}$

Lo más destacado de este resultado es que es proporcional a la velocidad angular de la partícula. Puesto que lo mismo ocurre con el momento angular

$\mathbf{L}=\frac{2}{5}mR^2\mathbf{w}$

puede establecerse una relación de proporcionalidad entre el momento magnético y el momento angular

$\mathbf{m}=\frac{q}{2m}\mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}$

A la cantidad $γ$ se la denomina razón giromagnética y es una propiedad de la partícula. Si bien un electrón no es una esfera en rotación, sí verifica una relación de este tipo. Esta es la causa de que se pueda hablar de los momentos magnéticos como pequeñas corrientes, mejor que como pares de polos magnéticos.

4 Campo magnético de un dipolo

El campo magnético debido a un dipolo se halla tomando el rotacional del potencial vector. El resultado es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

4.1 Demostración

La expresión del campo se obtiene hallando el rotacional del potencial vector

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\left(\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}\right)$

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\frac{1}{r^3}+\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\right)$

El rotacional del primer sumando se demuestra que vale

$\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})=2\mathbf{m}$

mientras que el gradiente que aparece en el segundo sumando se demuestra que vale

$\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)=-\frac{3\mathbf{r}}{r^5}$

lo que nos deja con

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2r^2\mathbf{m}-3\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})}{r^5}$

Desarrollando el doble producto vectorial se llega finalmente a la expresión del campo magnético.

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

4.2 Analogía con el dipolo eléctrico

5 Acción de un campo externo sobre un dipolo

Artículo completo: Acción de un campo magnético sobre un dipolo magnético

5.1 Fuerza

5.2 Par y momento

5.3 Energía

6 Dipolos de Ampère y dipolos de Gilbert

Dipolo magnético

De Laplace

Contenido

1 Definición

2 Distribución del campo magnético

3 Momento dipolar magnético

3.1 Para una distribución de corriente

3.1.1 Ejemplo: espira

3.1.2 Ejemplo: esfera rotante

4 Campo magnético de un dipolo

4.1 Demostración

4.2 Analogía con el dipolo eléctrico

5 Acción de un campo externo sobre un dipolo

5.1 Fuerza

5.2 Par y momento

5.3 Energía

6 Dipolos de Ampère y dipolos de Gilbert

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