Modelo esférico de generador

De Laplace

1 Enunciado

Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio a de conductividad σ₁ se encuentra inmersa en un medio de conductividad σ₂ que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga , constante y uniforme.

1. Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
2. Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

y en el exterior de ella

calcule las constantes A y B.

3. Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
4. Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (z = 0, r < a) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
5. ¿A qué tienden los resultados cuando ? ¿Y cuando ?

2 Solución

2.1 Ecuaciones y condiciones de salto

2.1.1 Ecuaciones

El sistema está formado por dos regiones: la interior (“1”) en r < a, y la exterior (“2”) en r > a. En cada una de ellas tendremos un cierto campo eléctrico , que debemos determinar.

Por tratarse de una situación estacionaria, el campo eléctrico en cada región es irrotacional

      

Igualmente, por ser la corrientes estacionarias, las densidades de corriente cumplen

Para completar estas relaciones, precisamos de las relaciones constitutivas, que indicamos después.

2.1.2 Condiciones de salto

2.1.3 Relaciones constitutivas

2.2 Potencial eléctrico

2.3 Potencia eléctrica

2.4 Circuito equivalente

2.5 Valores límite