Modelo esférico de generador

De Laplace

1 Enunciado

Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio $a$ de conductividad $σ 1$ se encuentra inmersa en un medio de conductividad $σ 2$ que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga $\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}$ , constante y uniforme.

Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

$\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)$

y en el exterior de ella

$\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)$

calcule las constantes

A

y

B

.

Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera ( $z = 0$ , $r < a$ ) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
¿A qué tienden los resultados cuando $\sigma_1 \ll \sigma_2$ ? ¿Y cuando $\sigma_1\gg \sigma_2$ ?

2 Solución

2.1 Introducción

Antes de pasar a la solución matemática del problema, vamos a interpretar el sistema físicamente.

Nuestra idea es considerar el caso de un generador cuyos polos puede estar en circuito abierto o unidos por una resistencia. Un caso sencillo sería una pila de 1.5 V conectada o no a un cable.

Sabemos que en circuito abierto habrá una corriente nula y una diferencia de potencial entre bornes igual a la fuerza electromotriz. Igualmente sabemos que si se conectan los polos por un material óhmico habrá una cierta corriente fluyendo del polo positivo al negativo por el cable de conexión, y del negativo al positivo por el interior del generador.

Sin embargo, esta imagen se vuelve extremadamente complicada cuando se intentan obtener expresiones cuantitativas a partir del conocimiento del mecanismo generador y la geometría del sistema. Un modelo realista de generador implica un análisis de las fuerzas no electrostáticas implicadas, así como una complicada geometría (incluso en el caso de una simple pila de 1.5 V). Por ello, aquí consideraremos un modelo muy simplificado que mantiene los aspectos esenciales.

La forma del generador la supondremos esférica, que es la que permite mayor simplicidad en las ecuaciones. En el interior de esta esfera hay un campo efectivo que supondremos uniforme $\mathbf{E}'=E'_0\mathbf{u}_z$ . Este campo tira de las cargas positivas y las lleva hacia la parte positiva del eje Z (“arriba”) y de las negativas hacia la parte negativa del mismo eje (“abajo”). Aparecerán entonces dos polos: el ánodo arriba y el cátodo abajo. El campo eléctrico irá de las cargas positivas a las negativas, esto es, de arriba abajo tanto dentro como fuera de la esfera.

Para modelar las resistencias del circuito consideraremos que tanto el interior como el exterior pueden caracterizarse por sendas conductividades. La de dentro da la proporcionalidad entre la corriente interior y el campo total (eléctrico más efectivo) mientras que la de fuera relaciona la corriente exterior con el campo eléctrico exterior. Así, en lugar de considerar que los polos están conectados por un cable, nos imaginamos que el generador está sumergido en un líquido óhmico, de forma que todo el exterior funciona como el cable de conexión.

la corriente eléctrica, entonces, irá de abajo arriba por el interior (ya que el campo efectivo es mayor que el eléctrico) y de arriba abajo por el exterior.

Una vez que hagamos los cálculos, podremos sustituir el sistema por un circuito equivalente, consistente en una fuente ideal, una resistencia interna y una externa.

2.2 Ecuaciones y condiciones de salto

2.2.1 Ecuaciones

El sistema está formado por dos regiones: la interior (“1”) en $r < a$ , y la exterior (“2”) en $r > a$ . En cada una de ellas tendremos un cierto campo eléctrico $\mathbf{E}_i(\mathbf{r})$ , que debemos determinar.

Por tratarse de una situación estacionaria, el campo eléctrico en cada región es irrotacional

$\nabla\times\mathbf{E}_i = \mathbf{0}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}_i=-\nabla\phi_i\,$

Igualmente, por ser la corrientes estacionarias, las densidades de corriente cumplen

$\nabla\cdot\mathbf{J}_i=0\,$

Para completar estas relaciones, precisamos de las relaciones constitutivas, que indicamos después.

2.2.2 Condiciones de salto

En la frontera entre las dos regiones debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, que implica la continuidad del potencial eléctrico

$\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}\qquad(r=a)$ $\Rightarrow$ $\phi_1(r=a^-)=\phi_2(r=a^+)\,$

Por ser una situación estacionaria, no hay variación en la carga superficial y, por tratarse de materiales óhmicos, tampoco hay corrientes superficiales, con lo que la condición de salto para la densidad de corriente se reduce a

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{J}]=0\qquad(r=a)$

En esta condición de salto y en la anterior, el vector $\mathbf{n}$ es el normal a la superficie esférica, esto es

$\mathbf{n}=\mathbf{u}_r\,$

Además de estas condiciones de salto hay que imponer que el potencial eléctrico tiende a 0 en el infinito y que no es singular en el centro de la esfera (en el que no hay carga puntual alguna)

$\phi_2\to 0\qquad(r\to\infty)$ $\phi_1\not\to\infty\qquad (r\to 0)$

2.2.3 Relaciones constitutivas

Para completar las ecuaciones y condiciones anteriores, necesitamos ecuaciones que liguen la densidad de corriente con el campo eléctrico.

En el exterior del generador esférico, la relación es simplemente la ley de Ohm

$\mathbf{J}_2=\sigma_2\mathbf{E}_2\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{J}_2=-\sigma_2\nabla\phi_2\,$

En el interior del generador no se cumple estrictamente la ley de Ohm, ya que las cargas no son movidas solamente por el campo electrostático, sino que también actúa sobre ellas el campo efectivo $\mathbf{E}'$ que es el que consigue vencer al campo eléctrico y separar las cargas. La densidad de corriente estará asociada a la superposición de estos efectos a través de una generalización de la ley

$\mathbf{J}_1=\sigma_1(\mathbf{E}+\mathbf{E}')\,$

2.2.4 Ecuaciones para el potencial

Combinando todo lo anterior podemos expresar el problema como uno para el potencial eléctrico. Tenemos que en el exterior del generador el potencial cumple la ecuación de Laplace

$0 = \nabla\cdot\mathbf{J}_2=-\nabla\cdot(\sigma_2\nabla\phi)$ $\Rightarrow$ $\nabla^2\phi_2=0\,$

En coordenadas esféricas queda

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi_2}{\partial r}\right)+ \frac{1}{r^2\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,\frac{\partial\phi_2}{\partial\theta}\right)=0$

No se han incluido el término con derivadas en $\varphi$ porque, dada la simetría del sistema (de revolución en torno al eje Z), el potencial no va a depender de esta coordenada. Sí va a depender de $θ$ ya que no es lo mismo estar por el lado del ánodo que por el del cátodo.

En el interior también se cumple la ecuación de Laplace, por ser $\mathbf{E}'$ un campo uniforme

$0 = \nabla\cdot\mathbf{J}_1=\nabla\cdot(\sigma_1(-\nabla\phi+\mathbf{E}_0'))$ $\Rightarrow$ $\nabla^2\phi_1=0\,$

y la expresión en coordenadas esféricas es idéntica a la que escribimos antes.

Si en las ecuaciones diferenciales para el potencial no aparece el campo efectivo, cabe preguntarse dónde lo hace. Es en las condiciones de salto donde es necesario incluirlo. En términos físicos, la consecuencia de que haya un $\mathbf{E}'$ es la aparición de una densidad de carga que en este simple modelo estará en la superficie de la esfera.

En esta superficie ( $r = a$ ) se cumple la continuidad del potencial

$[\phi]=0\,$ $\Rightarrow$ $\phi_1(r=a^-)=\phi_2(r=a^+)\,$

y de la componente normal de la corriente eléctrica

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{J}]=0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{u}_r\left(-\sigma_2\nabla\phi_2-\sigma_1\left(-\nabla\phi_1+E'_0\mathbf{u}_z\right)\right)=0$ $\Rightarrow$ $\sigma_1\frac{\partial \phi_1}{\partial r}-\sigma_2\frac{\partial\phi_2}{\partial r}=\sigma_1E'_0\cos\theta$

Además tenemos las dos condiciones de contorno

$\phi_2\to 0\qquad(r\to\infty)$ $\phi_1\not\to\infty\qquad (r\to 0)$

2.3 Potencial eléctrico

2.3.1 Expresión general del potencial

Aunque el propio enunciado da la expresión de las soluciones para el potencial, podemos inducir éstas directamente a partir de la ecuación de Laplace y del conocimiento de diferentes sistemas electrostáticos.

Comenzamos separando la dependencia radial de la angular. Si examinamos las ecuaciones y condiciones de salto anteriores, vemos que la única dependencia angular aparece como un $cosθ$ en una condición de salto. Por ello, y protegidos en la retaguardia por el teorema de unicidad, proponemos la solución

$\phi_i=f_i(r)\cos\theta\,$

donde, tras sustituir en la ecuación de Laplace, la función $f (r)$ verifica la ecuación diferencial

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}f_i}{\mathrm{d}r}\right)-\frac{2}{r^2}f_i=0$

La solución de esta ecuación será una función, dependiente solo de $r$ y de dos constantes de integración. Podemos hallar esta función resolviendo la ecuación diferencial (que es una de las llamadas equidimensionales o de Euler). No obstante, es más intructivo aprovechar las soluciones que ya conocemos.

Existen dos potenciales proporcionales a $cosθ$ :

El potencial de un campo uniforme en la dirección del eje Z

$\mathbf{E}=E_0\mathbf{u}_z$ $\Rightarrow$ $\phi=-E_0z = -E_0r\cos\theta\,$

El potencial de un dipolo que apunta según el mismo eje

$\phi = \frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\cos\theta}{r^2}$

Estos dos potenciales cumplen la ecuación de Laplace y son iguales a una función de r multiplicada por el coseno del ángulo polar. Por ello, la solución general para esta dependencia angular la podemos escribir como

$\phi_i = E_0r\cos\theta + \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cos\theta = \left(A_ir+\frac{B_i}{r^2}\right)\cos\theta$

donde $A i$ y $B i$ son las constantes de integración, a determinar a partir de las condiciones de salto y de contorno. Una vez halladas, puede interpretarse el resultado en términos de campos uniformes y momentos dipolares.

2.3.2 Cálculo de las constantes

El potencial en el interior y el exterior del generador tiene en principio la misma forma

$\phi =\begin{cases}\left(A_1r+\displaystyle\frac{B_1}{r^2}\right)\cos\theta &(r<a) \\ & \\ \left(A_2r+\displaystyle\frac{B_2}{r^2}\right)\cos\theta &(r>a)\end{cases}$

Debemos hallar cuatro constantes, para lo cual disponemos de dos condiciones de salto y dos de contorno.

2.3.2.1 Anulación en el infinito

Puesto que el potencial se anula lejos del generador, debe ser

$\phi_2(r\to\infty) \to 0\,$ $\Rightarrow$ $A_2=0\,$

ya que el término $A 2 r cosθ$ diverge lejos de la esfera generadora.

2.3.2.2 No divergencia en el centro

En el centro de la esfera el potencial no es singular

$\phi_1(r\to 0) \not\to \infty$ $\Rightarrow$ $B_1=0\,$

ya que un término en $1 / r 2$ es divergente en $r\to 0$ .

2.3.2.3 Continuidad del potencial

Hemos demostrado ya que el potencial se reduce a la expresión dada en el enunciado

$\phi =\begin{cases}A_1r\cos\theta &(r<a) \\ & \\\displaystyle\frac{B_2}{r^2}\cos\theta &(r>a)\end{cases}$

lo cual nos dice que el campo eléctrico en el interior del generador es uniforme, mientras que en el exterior se trata de un campo dipolar.

Imponiendo ahora la continuidad del potencial en la superficie del generador

$\phi_1(a^-)=\phi_2(a^+)\,$ $\Rightarrow$ $A_1a\cos\theta=\frac{B_2}{a^2}\cos\theta$ $\Rightarrow$ $B_2=A_1a^3\,$

2.3.2.4 Continuidad de la corriente

Imponiendo por último la continuidad de la componente normal de la densidad de corriente

$\sigma_1\frac{\partial\phi_1}{\partial r}-\sigma_2\frac{\partial\phi_2}{\partial r}=\sigma_1E'_0\cos\theta$ $\Rightarrow$ $\sigma_1A_1+\frac{2\sigma_2B_2}{a^3}=\sigma_1E'_0$

2.3.3 Solución para el potencial

Las dos condiciones de salto nos dan finalmente

$A_1 = \frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}$ $B_2=A_1a^3 = \frac{\sigma_1E'_0a^3}{\sigma_1+2\sigma_2}$

y la expresión para el potencial en todo el espacio es

$\phi =\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}r\cos\theta &(r<a) \\ & \\\displaystyle\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta &(r>a)\end{cases}$

2.3.4 Campo eléctrico

Una vez que tenemos el potencial podemos hallar el campo, que, como sabemos, será uniforme en el interior de la esfera y dipolar en el exterior.

$\mathbf{E}=-\nabla\phi=\begin{cases}-\displaystyle\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{u}_z &(r<a) \\ & \\\displaystyle\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\frac{a^3}{r^3}\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right) &(r>a)\end{cases}$

Vemos que, como corresponde a un generador, el campo en el interior de éste va en sentido opuesto al campo efectivo.

2.3.5 Densidad de corriente

Para hallar la densidad de corriente, debemos distinguir el interior y el exterior del generador. En el interior

$\mathbf{J}_1=\sigma_1\left(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}'\right)=\sigma_1\left(-\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}+E'_0\right)\mathbf{u}_z=\frac{2\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{u}_z$

y en el exterior

$\mathbf{J}_2=\sigma_2\mathbf{E}_2=\frac{\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\frac{a^3}{r^3}\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)$

A diferencia del campo eléctrico, la densidad de corriente en el interior del generador sí va en el sentido del campo efectivo (y opuesta, por tanto, al campo eléctrico).

2.4 Potencia eléctrica

La potencia desarrollada por el campo eléctrico es igual a

$P=\int\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau$

De nuevo, debemos distinguir el eexterior y el interior del generador.

2.4.1 Potencia generada

Al aplicar la expresión anterior al volumen del generador, no hay que sustituir el campo eléctrico por la suma de éste con el efectivo. El campo efectivo aparece solamente en la densidad de corriente.

El resultado de esta potencia, para el caso del generador, será negativa, ya que la densidad de corriente y el campo van en sentidos opuestos. Esto quiere decir que dentro del generador el campo gana energía, puesto que un agente externo realiza un trabajo de separación de las cargas.

Por ello, se define la potencia desarrollada por el generador como la integral anterior cambiada de signo.

Podemos desarrollar la expresión integral como

$P_g = -\int_{r<a}\!\!\!\!\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau = -\int_{r<a}\!\!\!\!\mathbf{J}\cdot\left(\frac{\mathbf{J}}{\sigma_1}-\mathbf{E}'\right)\,\mathrm{d}\tau = \int_{r<a}\!\!\!\!\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}'\mathrm{d}\tau-\int_{r<a}\frac{J^2}{\sigma_1}\mathrm{d}\tau =P_{g0}-P_{dg}$

Estas dos integrales son ambas positivas, lo que nos dice que la potencia desarrollada por el generador es igual a un término que da el trabajo realizado por el campo efectivo en la unidad de tiempo, separando las cargas, menos un término de disipación por efecto Joule (que corresponde al calor producido dentro del generador). El primer término es superior en magnitud al primero, indicando que, dentro del generador, el campo eléctrico gana energía. Esta energía es disipada en el exterior por efecto Joule.

Si sustituimos las expresiones de la densidad de corriente y el campo, ambos uniformes en la esfera

$P_g = -\int_{r<a}\!\!\!\! \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau= \frac{8\pi a^3\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^2}$

Si consideramos por separado la potencia disipada en el generador y el trabajo del campo efectivo, obtenemos, para la disipación

$P_{dg}=\int_{r<a}\frac{J_1^2}{\sigma_1}\,\mathrm{d}\tau=\frac{16\pi a^3\sigma_1\sigma_2^2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^2}$

y para la potencia del campo efectivo

$P_{g0}=\int_{r<a}\!\!\!\!\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}'\,\mathrm{d}\tau=\frac{8\pi a^3\sigma_1\sigma_2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)}$

2.4.2 Potencia disipada

En el exterior el campo efectivo es nulo, por lo que toda la potencia corresponde a la disipación por efecto Joule

$P_d = \int_{r>a}\!\!\!\! \mathbf{J}_2\cdot\mathbf{E}_2\,\mathrm{d}\tau=\int_{r>a}\frac{J_2^2}{\sigma_2}\,\mathrm{d}\tau > 0$

Sustituyendo las expresiones obtenemos la potencia disipada por unidad de volumen

$p = \mathbf{J}_2\cdot\mathbf{E}_2=\frac{a^6\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{(\sigma_1+2\sigma_2)^2}\,\frac{(4\cos^2\theta+\,\mathrm{sen}^2\theta)}{r^6}$

Para hallar la potencia total disipada, la integral se descompone en producto de tres

$\int_{r>a} p\,\mathrm{d}\tau = \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^\pi\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\int_a^\infty\! \mathrm{d}r\,r^2 p = \frac{a^6\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{(\sigma_1+2\sigma_2)^2}\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^\pi\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\left(4\cos^2\theta+\,\mathrm{sen}^2\theta\right)\int_a^\infty\! \mathrm{d}r\,r^2\frac{1}{r^6}$

Calculando cada una por separado, la acimutal da

$\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi = 2\pi$

La polar

$\int_0^\pi\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\left(4\cos^2\theta+\,\mathrm{sen}^2\theta\right) = \int_0^\pi\!\! \mathrm{d}\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\left(3\cos^2\theta+1\right)= \left.\left(-\cos^3\theta-\cos\theta\right)\right|_0^\pi=4$

Y la radial

$\int_a^\infty\! \mathrm{d}r\,r^2\frac{1}{r^6} = \int_a^\infty\! \mathrm{d}r\,\frac{1}{r^4}=\left.-\frac{1}{3r^3}\right|_a^\infty = \frac{1}{3a^3}$

Reuniendo los tres resultados

$P_d = \int_{r>a}\!\!\!\! \mathbf{J}_2\cdot\mathbf{E}_2\,\mathrm{d}\tau=\frac{a^6\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{(\sigma_1+2\sigma_2)^2}\left(2\pi\right))(4)\left(\frac{1}{3a^3}\right)=\frac{8\pi a^3\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^2}$

que, por supuesto, coincide exactamente con la potencia absorbida por el campo eléctrico en el interior del generador.

Con esto se completa el balance energético. El campo efectivo realiza un trabajo por unidad de tiempo. Parte de este trabajo se disipa en el interior del propio generador y parte se almacena en el campo eléctrico. Este campo eléctrico disipa la energía en el exterior del sistema por efecto Joule.

2.5 Circuito equivalente

La interpretación circuital de este sistema parece sencilla: tenemos un generador real que se podrá modelar por uno ideal (con fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ y sin resistencia interna) en serie con una resistencia interna de valor $r$ . El exterior del sistema podrá ser descrito mediante otra resistencia $R$ . Por todo el circuito fluye una corriente $I$ , y entre los polos del generador hay una diferencia de potencial

$\Delta V = \mathcal{E}-Ir=IR\,$

En cuanto a la potencia, el campo efectivo realizará un trabajo en la unidad de tiempo

$P_{g0}=I\mathcal{E}$

y esta potencia se disipará por efecto Joule dentro y fuera del generador

$P_{dg}=I^2r\,$ $P_d = I^2R\,$

El problema aparece cuando intentamos dar valores a esos parámetros. ¿Por dónde circula exactamente la corriente? ¿Cuál es la sección del conductor externo? ¿Y su longitud? ¿De dónde a dónde se mide la diferencia de potencial? ¿Sobre qué curva cerrada calculamos la fuerza electromotriz?

Un sistema real, como éste, no se convierte de forma inmediata en un circuito equivalente. debe definirse con precisión cada uno de los parámetros implicados. Aun con una definición precisa, es posible que obtengamos, como veremos, valores diferentes e incluso contradictorios, lo cual quiere decir que el circuito que usamos para calcular alguna magnitud no nos vale para hallar otra.

Veremos dos posibles métodos de cálculo del circuito equivalente: A partir de las ley de Ohm para un circuito; y a partir de la ley de Joule.

2.5.1 A partir de la ley de Ohm para un circuito

La magnitud circuital cuya definición presenta menos ambigüedad es la intensidad de corriente. Sabemos que la corriente fluye verticalmente de abajo arriba por el interior del generador. Al llegar a la superficie de éste retorna por el exterior, siguiendo las líneas de corriente de un campo dipolar. La intensidad de corriente que fluye por el sistema será la integral de la densidad de corriente sobre una sección atravesada por ésta. El valor máximo de esta intensidad de corriente lo obtendremos en el plano ecuatorial del generador ( $z = 0$ , $θ = π / 2$ , en el cual

$\mathbf{J}=\begin{cases}\displaystyle \frac{2\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{u}_z =J_1 \mathbf{u}_z & (r < a) \\ & \\\displaystyle -\frac{\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\,\frac{a^3}{r^3}\mathbf{u}_z=-\frac{J_1a^3}{2r^3}\mathbf{u}_z & (r>a)\end{cases}$

Definimos la intensidad de corriente como la integral sobre un corte ecuatorial de la esfera

$I = \int_{r<a}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_0^{2\pi}\int_0^a (J_1\mathbf{u}_z)\cdot(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z)=J_1\pi a^2=\frac{2\pi\sigma_1\sigma_2E'_0 a^2}{\sigma_1+2\sigma_2}$

Puede comprobarse, hallando la integral, que la misma intensidad retorna por el exterior de la esfera

$\int_{r>a}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-\int_0^{2\pi}\int_a^\infty \left(\frac{J_1a^3}{2r^3}\mathbf{u}_z\right)\cdot(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z)=-2\pi \frac{J_1a^3}{2}\,\frac{1}{a}=-I$

La siguiente magnitud que debemos definir es la fuerza electromotriz del generador. Para ello debemos integrar $\mathbf{E}+\mathbf{E}'$ a lo largo de una curva cerrada $Γ$ . Y aquí surge el problema: ¿qué curva $Γ$ ?. Dependiendo de por donde pase, obtendremos más o menos contribución del campo efectivo, y por tanto diferentes valores para la fuerza electromotriz.

La respuesta “natural” es elegir una curva que pase por los polos de la esfera. Esta curva nos da el máximo valor de la fuerza electromotriz, pero hay que ser consciente de que no es ésta la única opción posible. La curva $Γ$ estará compuesta por un tramo rectilíneo que va de un polo a otro de la esfera, más un retorno arbitrario por el exterior de ésta. La contribución exterior del campo eléctrico cancela a la del interior, quedando sólo el campo efectivo:

$\mathcal{E}=\oint_\Gamma \left(\mathbf{E}+\mathbf{E'}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\oint_\Gamma \mathbf{E'}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{-a}^a E_0'\mathrm{d}z = 2aE_0'$

La intensidad de corriente en el circuito es proporcional a esta fuerza electromotriz

$I = \frac{2\pi\sigma_1\sigma_2E'_0 a^2}{\sigma_1+2\sigma_2}=\frac{\pi a\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathcal{E}$

La diferencia de potencial entre los polos del generador, usando el mismo tramo rectilíneo

$\Delta V = -\int_{-a}^a E_1\,\mathrm{d}z= -2aE_1=\frac{2a\sigma_1E_0'}{\sigma_1+2\sigma_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathcal{E}$

A partir de la intensidad, la f.e.m. y la diferencia de potencial podemos determinar la resistencia externa.

$R = \frac{\Delta V}{I}=\frac{\sigma_1 \mathcal{E}/(\sigma_1+2\sigma_2)}{\pi a\sigma_1\sigma_2\mathcal{E}/(\sigma_1+2\sigma_2)}=\frac{1}{\pi a \sigma_2}$

y la interna

$\Delta V = \mathcal{E}-Ir\,$ $\Rightarrow$ $r=\frac{\mathcal{E}-\Delta V}{I}=\frac{2}{\pi a \sigma_1}$

Podemos comprobar que estas resistencias cumplen parte de lo que se espera de ellas:

La resistencia interna depende solamente de las propiedades de la esfera.
La resistencia externa depende solo de la conductividad exterior y de las dimensiones del sistema.
La fuerza electromotriz depende solo del campo efectivo.
Las resistencias satisfacen la ley de Ohm generalizada

$I = \frac{\pi a\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathcal{E}= \frac{\mathcal{E}}{(1/\pi a\sigma_2)+(2/\pi a\sigma_1)}=\frac{\mathcal{E}}{R+r}$

pero fallan a la hora de dar el balance energético, ya que

$P_d = \frac{8\pi a^3\sigma_1^2\sigma_2E_0^{'2}}{3(\sigma_2+2\sigma_2)^2}= \frac{2}{3a\pi\sigma_2}I^2=\frac{2}{3}I^2R$

esto es, aunque resulta una expresión dimensionalmente correcta, aparece un coeficiente numérico que hace que el resultado no coincida con el que uno espera aplicando la teoría de circuitos.

Situaciones parecidas se dan para la potencia disipada dentro del generador

$P_{dg}=\frac{16\pi a^3\sigma_1\sigma_2^2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^2}=\frac{2}{3}I^2r$

y la potencia desarrollada por el campo efectivo

$P_{g0}=\frac{8\pi a^3\sigma_1\sigma_2E_0^{'2}}{3(\sigma_1+2\sigma_2)}=\frac{2}{3}I\mathcal{E}$

Por ello, este circuito equivalente no es completamente satisfactorio. Veremos ahora una alternativa partiendo justamente de la potencia desarrollada en el sistema.

2.5.2 A partir de la ley de Joule

Mantenemos la definición de la intensidad de corriente en el sistema y redefiniremos la fuerza electromotriz y las resistencias del sistema, de forma que la ley de Joule adopte su forma usual.

Despejando de la ley de Joule para la potencia disipada en el exterior obtenemos la resistencia externa

$R' = \frac{P_d}{I^2}= \frac{2}{3\pi a\sigma_2}$

y con la disipada en el propio generador definimos la resistencia interna

$r'=\frac{P_{dg}}{I^2}= \frac{4}{\pi a\sigma_1}$

De la potencia desarrollada por el campo efectivo obtenemos una fuerza electromotriz

$\mathcal{E}'=\frac{P_{g0}}{I}=\frac{4a}{3}E'_0$

A partir de la f.e.m. y la resistencia interna definimos una diferencia de potencial entre polos

$\Delta V' = \mathcal{E}'-Ir' = \frac{\sigma_1}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathcal{E}'$

Este nuevo conjunto de parámetros cumple casi todo lo que cabe esperar de ellos:

La resistencia interna depende solo de la geometría y de las propiedades internas.
La resistencia externa es función de la conductividad exterior y de la geometría
la fuerza electromotriz depende sólo del campo efectivo.
Se cumple la ley de Ohm generalizada

$I = \frac{\mathcal{E}'}{R'+r'}$ $\Delta V'=IR'\,$ $\Delta V'=\mathcal{E}'-Ir'\,$

Se cumple la ley de Joule

$P_d = I^2R'\,$ $P_g = I\mathcal{E}'-I^2r'=P_{g0}-P_{dg}\,$

Esto hace que esta definición de los parámestros sea más satisfactoria que la anterior. Con una salvedad: ¿dónde están los polos del generador? ¿De dónde a donde se mide la fuerza electromotriz? La expresión $\mathcal{E}'=2(2a/3)E'_0$ indica que se encontrarían no en los extremos de la esfera, sino a una distancia $2 a / 3$ del ecuador. ¿Por qué a esta distancia? Realmente no es una cuestión de por qué una distancia y no otra, sino que, al definir la f.e.m. empleando una cantidad global como la potencia, lo que se obtiene es un promedio sobre todas las posibles distancias, y así es como hay que interpretar este resultado: como un promedio.

2.6 Valores límite

Podemos interpretar los resultados anteriores considerando casos extremos conocidos

2.6.1 Circuito abierto

Un circuito abierto corresponde a que el por el exterior del generador no pueda circular la corriente. Podemos obtener este caso particular si tomamos el límite

$\sigma_2\to 0\,$

En este límite, la densidad de corriente se anula en todo el espacio

$\lim_{\sigma_2\to 0}\mathbf{J}_1=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{E}'_0=\mathbf{0}$ $\lim_{\sigma_2\to 0}\mathbf{J}_2=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\left(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)=\mathbf{0}$

Aunque la densidad de corriente se anula, el campo eléctrico no lo hace. En el interior del generador es igual al campo efectivo, pero con sentido opuesto.

$\lim_{\sigma_2\to 0}\mathbf{E}_1=\lim_{\sigma_2\to 0}-\frac{\sigma_1}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{E}'_0=-\mathbf{E}'$

En el exterior va del polo positivo al negativo de forma dipolar

$\lim_{\sigma_2\to 0}\mathbf{E}_2=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)=E'_0\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)$

La potencia disipada en el sistema y la potencia generada se anulan, por hacerlo la densidad de corriente

$\lim_{\sigma_2\to 0}P_d = \lim_{\sigma_2\to 0}\int_{r>a}\!\!\!\! \mathbf{J}_2\cdot \mathbf{E}_2\,\mathrm{d}\tau = 0$ $\lim_{\sigma_2\to 0}P_{dg} = \lim_{\sigma_2\to 0}\int_{r<a} \frac{J_1^2}{\sigma_1}\,\mathrm{d}\tau= 0$ $\lim_{\sigma_2\to 0}P_{g0} = \lim_{\sigma_2\to 0}\int_{r<a}\!\!\!\! \mathbf{J}_1\cdot \mathbf{E}'_0\,\mathrm{d}\tau= 0$

La resistencia exterior se hace infinita en este límite.

$\lim_{\sigma_2\to 0}R'=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{2}{3\pi a\sigma_2}=\infty$

La intensidad de corriente en el sistema también se anula

$I=J_1\pi a^2\to 0\,$

y la diferencia de potencial coincide con la fuerza electromotriz

$\Delta V = \frac{4a}{3}E_1 = \frac{4a}{3}E'_0=\mathcal{E}\,$

2.6.2 Generador ideal

El generador ideal es aquel que no tiene resistencia interna. Podemos conseguir esta situación tomando el límite

$\sigma_1\to \infty\,$

En este límite, la densidad de corriente no se anula

$\lim_{\sigma_1\to \infty}\mathbf{J}_1=2\sigma_2\mathbf{E}'_0$ $\lim_{\sigma_1\to \infty}\mathbf{J}_2=\sigma_2E'_0\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)$

El campo eléctrico tampoco se anula. De hecho, su distribución es exactamente la misma que en el caso de un circuito abierto Como en el caso del circuito abierto, en el interior del generador es igual al campo efectivo, pero con sentido opuesto.

$\lim_{\sigma_1\to \infty}\mathbf{E}_1=\lim_{\sigma_1\to \infty}-\frac{\sigma_1}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{E}'_0=-\mathbf{E}'$

En el exterior va del polo positivo al negativo de forma dipolar

$\lim_{\sigma_1\to \infty}\mathbf{E}_2=\lim_{\sigma_1\to \infty}\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)=E'_0\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)$

La potencia disipada en el exterior no se anula, pero sí lo hace la disipada en el propio generador; la potencia generada no se anula.

$\lim_{\sigma_1\to \infty}P_d = \lim_{\sigma_1\to \infty}\int_{r>a}\!\!\!\! \mathbf{J}_2\cdot \mathbf{E}_2\,\mathrm{d}\tau = \frac{8\pi a^3\sigma_2E_0^2}{3}$ $\lim_{\sigma_1\to \infty}P_{dg} = \lim_{\sigma_1\to \infty}\int_{r<a} \frac{J_1^2}{\sigma_1}\,\mathrm{d}\tau= 0$ $\lim_{\sigma_1\to \infty}P_{g0} = \lim_{\sigma_1\to \infty}\int_{r<a}\!\!\!\! \mathbf{J}_1\cdot \mathbf{E}'_0\,\mathrm{d}\tau= \frac{8\pi a^3\sigma_2E_0^2}{3}$

La resistencia interna se anula.

$\lim_{\sigma_1\to \infty}R'=\lim_{\sigma_1\to \infty}\frac{4}{3\pi a\sigma_1}=0$

La intensidad de corriente en el sistema no es nula

$I=J_1\pi a^2\to 2\pi a^2\sigma_2E'_0=\frac{\mathcal{E}}{R}$

y la diferencia de potencial coincide con la fuerza electromotriz

$\Delta V' = \frac{4a}{3}E_1 = \frac{4a}{3}E'_0=\mathcal{E}\,$

2.6.3 Cortocircuito

El cortocircuito es el caso límite opuesto al circuito abierto. Se caracteriza porque la resistencia exterior se anula y el generador se descarga instantáneamente por el exterior. Podemos obtener este caso particular si tomamos el límite

$\sigma_2\to \infty\,$

En este límite, la densidad de corriente no se anula ni en el interio

$\lim_{\sigma_2\to \infty}\mathbf{J}_1=\lim_{\sigma_2\to \infty}\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{E}'_0=\sigma_1\mathbf{E}'_0$

ni en el exterior

$\lim_{\sigma_2\to \infty}\mathbf{J}_2=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{\sigma_1\sigma_2E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\left(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)=\frac{\sigma_1E'_0}{2}\left(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)$

Aunque la densidad de corriente no se anula, el campo eléctrico sí lo hace (justamente al contrario que el caso del circuito abierto)

$\lim_{\sigma_2\to \infty}\mathbf{E}_1=\lim_{\sigma_2\to \infty}-\frac{\sigma_1}{\sigma_1+2\sigma_2}\mathbf{E}'_0=-\mathbf{0}$

En el exterior

$\lim_{\sigma_2\to \infty}\mathbf{E}_2=\lim_{\sigma_2\to \infty}\frac{\sigma_1E'_0}{\sigma_1+2\sigma_2}\left(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta\right)\mathbf{0}$

La potencia disipada en el exterior se anula (pues el medio no tiene resistencia); no así en el interior ni la potencia generada se anulan

$\lim_{\sigma_2\to \infty}P_d = \lim_{\sigma_2\to \infty}\int_{r>a}\!\!\!\! \mathbf{J}_2\cdot \mathbf{E}_2\,\mathrm{d}\tau = 0$ $\lim_{\sigma_2\to \infty}P_{dg} = \lim_{\sigma_2\to \infty}\int_{r<a} \frac{J_1^2}{\sigma_1}\,\mathrm{d}\tau= \frac{4\pi a^3\sigma_1E_0^{'2}}{3}$ $\lim_{\sigma_2\to \infty}P_{g0} = \lim_{\sigma_2\to \infty}\int_{r<a}\!\!\!\! \mathbf{J}_1\cdot \mathbf{E}'_0\,\mathrm{d}\tau= \frac{4\pi a^3\sigma_1E_0^{'2}}{3}$

La resistencia exterior se anula en este límite.

$\lim_{\sigma_2\to \infty}R'=\lim_{\sigma_2\to 0}\frac{2}{3\pi a\sigma_2}=0$

La intensidad de corriente en el sistema no se anula

$I=J_1\pi a^2\to \sigma_1E'_0\pi a^2= \frac{\mathcal{E}}{r}$

La diferencia de potencial sí se anula en el cortocircuito.

$\Delta V = \frac{4a}{3}E_1 = 0\,$

Hay que destacar que mientras el límite generador ideal es compatible con el de circuito abierto ( $\sigma_1\to\infty$ , $\sigma_2\to 0$ ), resultando un generador ideal sin resistencia y sin corriente pasando por él; no se puede tomar simultáneamente el límite de generador ideal en cortocircuito ( $\sigma_1\to\infty$ , $\sigma_2\to \infty$ ), a menos que se especifique de manera precisa cómo divergen las conductividades comparadas la una con la otra. Físicamente podemos ver que es un caso singular atendiendo a la potencia. Si no hay resistencia alguna, la corriente diverge y el campo efectivo realiza un trabajo que tiende a infinito, pero no es disipado en parte alguna, lo que es un sinsentido.

2.6.4 Disipación máxima

Los límites anteriores producen un resultado interesante. Tanto en circuito abierto como en cortocircuito la potencia disipada en el exterior del generador se anula. En un caso porque no hay corriente en el exterior; en el otro porque no hay campo eléctrico. Pero sabemos que para cualquier conductividad exterior finita esta potencia posee un cierto valor positivo. La gráfica de la potencia disipada como función de la conductividad $σ 2$ tendrá forma de campana tendiendo a 0 en sus dos límites. Nos preguntamos entonces, ¿para qué valor de $σ 2$ será máxima la potencia entregada por el generador al medio exterior.

Recurrimos a la expresión de la potencia disipada

$P_d = \frac{8\pi a^3\sigma_1^2 \sigma_2 E_0^2}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^2}$

Derivando e igualando a 0

$0 = \frac{\mathrm{d}P_d}{\mathrm{d}\sigma_2}=\frac{8\pi a^3\sigma_1^2E_0^{'2}(\sigma_1-2\sigma_2)}{3(\sigma_1+2\sigma_2)^3}$

Esta derivada se anula si

$\sigma_2=\frac{\sigma_1}{2}$

siendo el valor de la potencia máxima

$P_d = \frac{\pi a^3\sigma_1 E_0^2}{3}$

En términos del circuito equivalente, este valor máximo se consigue cuando

$R=r\,$