Partícula en anilla giratoria

De Laplace

1 Enunciado

Una pequeña anilla de masa m está ensartada sin rozamiento en un aro circular de masa M y radio b situado verticalmente que puede girar en torno a un diámetro vertical. Suponga que este aro se hace girar con velocidad angular constante Ω alrededor de este diámetro.

1. Escriba la ecuación del vínculo sobre la partícula. ¿De qué tipo es?
2. Determine la posición de los posibles puntos de equilibrio en la vertical, así como la estabilidad de éstos, en función del valor de Ω.
3. Suponga ahora que entre la anilla y el aro existe un coeficiente de rozamiento seco μ, ¿cómo queda en ese caso la ecuación de movimiento para la anilla? Para un valor de Ω dado, ¿cuál es en ese caso el rango de posiciones verticales de equilibrio?

2 Ecuación del vínculo

La partícula está obligada a moverse sobre una línea, la cual la podemos considerar como una intersección de dos superficies:

• Una esfera de radio b

o, en cilíndricas,

o, en esféricas,

• Un plano giratorio. Este plano fija la coordenada θ de cilíndricas, en

(que sería en esféricas). En cartesianas, sería

Este vínculo es liso, bilateral, reónomo (pues depende del tiempo) y geométrico. Al ser geométrico, es también holónomo.

3 Puntos de equilibrio

4 Equilibrio con rozamiento