Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)

De Laplace

1 Peonza rodante

Una peonza está formada por una varilla de longitud ensartada en un disco de radio . Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez . El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.

Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:

1. La velocidad angular del sólido.
2. La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en , considerado como punto del sólido.
3. La aceleración angular del sólido.
4. La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.

2 Disco en varilla horizontal

Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal z = 0 (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje OX₀ es a lo largo de la barra horizontal y OZ₀ = OZ₁ en todo momento. Sea (t) el ángulo que el eje OX₀ forma con el OX₁. En un instante dado θ = 0,,.

Para ese instante:

1. Determine los vectores , y .
2. Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
3. Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto C de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
4. Halle las aceleraciones angulares , y .
5. Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos C, G y D del apartado (3).

3 Bola que rueda en carril

Una bola (sólido “2”), de radio , se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios y , situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos raíles.

Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido 0) al plano O₁X₀Z₀ que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

1. ¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema?
2. Sea θ(t) el ángulo que forma el eje OX₀ con el OX₁. Con ayuda del sólido intermedio halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
3. Halle las velocidades angulares y aceleraciones angulares de los movimientos {21}, {20} y {01}
4. Para el punto de la bola en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine y .

4 Barra que desliza en eje rotatorio

El armazón de barras paralelas a los ejes OX₀ y OZ₀ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ₁, de tal modo que el eje OX₀ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX₁Y₁ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ₀.

Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular .
2. ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
3. La aceleración angular y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}

5 Esfera en recipiente cilíndrico

Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante v_0 alrededor del eje vertical.

Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje OZ₁ = OZ₀ de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano OX₀Z₀. Con ayuda de este sistema determine y exprese:

1. Las velocidades angulares , y
2. La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
3. Las aceleraciones angulares , y
4. Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.

6 Rodillo que empuja a otro

Un rodillo de radio R (“sólido 0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una rapidez constante v₀ respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio r (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

1. Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
2. ¿Dónde se halla el CIR del movimiento {20}?

7 Velocidad relativa de dos vagones

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “3”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades . El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante. Halle las velocidades relativas y en los siguientes casos:

1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
2. La vagoneta B se mueve por una vía circular de radio R, mientras que A se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios R y R+b, respectivamente.
4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado.
5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos.

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(3)	(4)	(5)