Disco en varilla horizontal (CMR)
De Laplace
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1 Enunciado
Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal z = 0 (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje OX0 es a lo largo de la barra horizontal y OZ0 = OZ1 en todo momento. Sea θ(t) el ángulo que el eje OX0 forma con el OX1. En un instante dado ,
,
.

Para ese instante:
- Determine los vectores
,
y
.
- Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
- Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
- Halle las aceleraciones angulares
,
y
.
- Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos A, G y D del apartado (3).
2 Velocidades angulares
En este problema tenemos tres sistemas de referencia, los dos sólidos y el sistema intermedio.
Lo primero que observamos es que el punto O es fijo en los tres movimientos: En el {01} porque pertenece al eje de rotación OZ1. En el {20} porque pertenece al eje OX0, de rotación en este movimiento, y en el {21} por composición de velocidades

Puesto que el punto O es fijo en los tres, podemos emplearlo como origen de coordenadas común.
El sistema “1” es el fijo, con ejes OX1 y OY1 horizontales y OZ1 vertical.
El sistema “0” tiene su eje OX0 siempre alineado con la varilla, siendo OZ0 vertical y coincidente con OZ1. En el movimiento {01} este sistema gira en torno a OZ1 = OZ0 por lo que las bases respectivas cumplen

La velocidad angular del movimiento {01} es una rotación en torno a su eje común

El sistema 2 es uno ligado al disco y cuyo eje OX2 coincide con el OX0. El disco gira alrededor de este eje. Por tanto, la relación entre las correspondientes bases es

siendo la velocidad angular

Aquí ψ es el ángulo que va girando el disco sobre su eje. No es una variable independiente de θ ya que debe cumplirse la condición de rodadura sin deslizamiento.
La velocidad angular del movimiento {21} es la composición de las otras dos

Obtenemos la relación entre las dos componentes imponiendo la condición de que la velocidad en el punto A, de contacto entre el disco y el plano, es nula en el movimiento {21}

Desarrollando el producto vectorial

por lo que debe ser

y por tanto, si llamamos

3 Ejes instantáneos de rotación
Lo localización de los tres EIR es sencilla:
- Movimiento {01}
- El eje es el OZ1 = OZ0
- Movimiento {20}
- El eje es el OX2 = OX0
- Movimiento {21}
- Es el que pasa por O y lleva la dirección de
o, lo que es equivalente, el que pasa por O y A, al ser ambos puntos de velocidad nula en el movimiento {01}.
4 Velocidades lineales
4.1 Del punto A
En el movimiento {21}, la velocidad del punto A es nula según hemos dicho.

En el movimiento {20} el punto A describe un movimiento circular en torno al eje del disco, que pasa por el origen O.

También se puede hallar esta velocidad a partir de la del movimiento {01} ya que por ser nula la del {21}

4.2 Del punto G
En el movimiento {20} G está en reposo por pertenecer al eje de rotación

En el {21} y en el {01} realiza un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por A.

Vemos que en este movimiento A y G tienen la misma velocidad por estar a la misma distancia del eje. De aquí

4.3 Del punto D
Operando igualmente, tenemos en el movimiento {01}

En el {20}

y por tanto

5 Aceleraciones angulares
El movimiento {01} es una rotación con eje fijo, siendo su aceleración angular

Análogamente ocurre para el {20}

Para el {21} empleamos la composición de aceleraciones angulares

6 Aceleraciones lineales
6.1 En el movimiento {01}
En el movimiento {01} todos los puntos describen un moviento circular acelerado alrededor del eje OZ1. Puesto que los tres puntos A, G y D, se hallan a la misma distancia del eje, la aceleración en este movimiento es igual para todos ellos

Puesto que este movimiento es plano, podemos simplificar la expresión

6.2 En el movimiento {20}
Este movimiento es de rotación en torno al eje OX0, el cual pasa por G. Por tanto

Para el punto A, situado en el mismo plano director que G

lo que nos da

Para el punto D el cálculo es similar, invirtiendo el vector de posición relativa

6.3 En el movimiento {21}
Aquí podemos calcularlas directamente con la fórmula análoga

o bien con el teorema de Coriolis

Si empleamos el teorema de Coriolis, para el punto G resulta

Para el punto A

Para el D
