Oscilador no lineal

De Laplace

Revisión a fecha de 13:45 8 feb 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula está sometida exclusivamente a una fuerza, dependiente de la posición, dada por

$F(x) = cx - px^3\qquad (p>0)$

Halle la expresión de la energía potencial y la energía mecánica para la partícula. Esboce las gráficas para los casos $c < 0$ y $c > 0$ .
Demuestre que el movimiento de la partícula siempre es acotado, y periódico.
Localice las posiciones de equilibrio de la partícula (a) si $c < 0$ (b) si $c > 0$ .
Suponga que la partícula se suelta desde una posición muy próxima a las posiciones de equilibrio calculadas en el apartado anterior. ¿En qué caso describe oscilaciones? Halle el valor aproximado del periodo de oscilación para este movimiento.

2 Solución

2.1 Energía mecánica

2.1.1 Energía potencial

Esta fuerza, dependiente solo de la posición, es una fuerza conservativa, que deriva de una energía potencial. Podemos calcular esta energía observando que el trabajo realizado por esta fuerza corresponde a una disminución de la energía potencial

$W = -\Delta U\,$ $\int_0^z F(x)\,\mathrm{d}x = -\left(U(z)-U(0)\right)$

Hallando la integral obtenemos la energía potencial

$U(z) = U(0) - \int_0^z \left(cx-px^3\right)\mathrm{d}x = U(0) -\frac{cz^2}{2}+\frac{pz^4}{4}$

Si tomamos como origen de energía potencial el centro del sistema ( $z = 0$ ) nos queda finalmente (llamando $x$ a la variable):

$U(x) = -\frac{cx^2}{2}+\frac{px^4}{4}$

La curva para esta energía potencial tiene las siguientes propiedades:

Es una función par. Puesto que solo aparecen potencias pares, la gráfica de $U (x)$ es simétrica, esto es

U ( - x) = U (x)

Tiende a $+\infty$ para $|x|\to\infty$ . Cuando x es grande, el término en $x 4$ domina sobre $x 2$ (por ejemplo, para $x = 1000$ , $x 2$ es 1 millón y $x 4$ es 1 billón. Esto quiere decir que si nos alejamos lo suficiente de la posición central la energía potencial va creciendo progresivamente.

$U\simeq \frac{px^4}{4}\qquad (x\gg 1)$

Puesto que la energía mecánica de una partícula es una cantidad finita, esta propiedad implicará, como veremos, que el movimiento debe ser periódico.

Puede tener un máximo o un mínimo en $x = 0$ . Cuando x es pequeño, $x 2$ es mucho más grande que $x 4$ (para $x$ una décima, $x 2$ es sólo una centésima, pero $x 4$ es aun menor, una diezmilésima). Por ello, cerca del punto central

$U\simeq -\frac{cx^2}{2}\qquad (x\ll 1)$

Si

c < 0

, la curva es aproximadamente una parábola hacia arriba, y el punto central es un mínimo (la segunda derivada es positiva). Si

c > 0

, la parábola es hacia abajoy la curva posee un máximo. En combinación con la propiedad anterior, esto significa que habrá dos mínimos adicionales, uno a cada lado.

2.1.2 Energía mecánica

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y de la potencial que acabamos de calcular

$E = T + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{cx^2}{2}+\frac{px^4}{4}$

2.2 Movimiento periódico

Se trata de demostrar que el movimiento de una partícula sometida a la fuerza del enunciado (cuya solución no conocemos), es necesariamente periódico. Podemos probar esta afirmación empleando razonamientos energéticos

La energía mecánica es una constante de movimiento, por ser la fuerza conservativa

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}= mv\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}-cx\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+px^3\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= v\left(ma-cx+px^3\right)$

y, puesto que por la segunda ley de Newton

$ma = F = cx - p x^3\,$

esta derivada se anula y

$E = \mathrm{cte} = E(0) = \frac{1}{2}mv_0^2+U(x_0)$

Podemos representar esto gráficamente, con ayuda de la curva de la energía potencial. La constancia de la energía mecánica equivale a una recta horizontal. La energía potencial es la curva de cuarto grado que ya conocemos. La energía cinética es la diferencia entre la energía total y la potencial $\frac{1}{2}mv^2 = T = E -U$

lo que corresponde al segmento verde entre la recta y la curva.

Ahora bien, la energía cinética es siempre positiva (es proporcional a un cuadrado), por tanto, los valores de x deben estar confinados entre los dos puntos de corte de la recta y la curva. Más allá la energía total sería menor que la potencial y la energía cinética sería negativa (lo que es imposible).

Tenemos entonces dos puntos de retorno, en los cuales la partícula se para (puesto que la energía cinética se hace cero). Aunque la partícula, al llegar a esa posición se detiene instantáneamente, no se queda detenida indefinidamente, sino que retrocede (como si rebotara, de ahí lo de retorno), ya que la fuerza está tirando de ella hacia adentro (la velocidad se anula, pero la fuerza no). La partícula se mueve en sentido contrario, hasta que llega al segundo punto de retorno, rebota de nuevo y continúa el proceso. El movimiento se dice acotado, pues alcanza un valor mínimo y un valor máximo de $x$ .

Cada vez que llega al mismo punto de retorno, la partícula se encuentra en la misma posición (la de este punto) y con la misma velocidad (nula), por lo que el movimiento se repite exactamente igual cada vez, y no es solo acotado, sino además periódico.

2.3 Puntos de equilibrio

2.4 Pequeñas oscilaciones

Oscilador no lineal

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Energía mecánica

2.1.1 Energía potencial

2.1.2 Energía mecánica

2.2 Movimiento periódico

2.3 Puntos de equilibrio

2.4 Pequeñas oscilaciones

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