Leyes de conservación en mecánica analítica (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 01:07 17 ene 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Coordenadas cíclicas
3 Función de Routh
4 Energía y función hamiltoniana

1 Introducción

Una constante de movimiento o integral primera es una función dependiente de las coordenadas, velocidades y posiblemente el tiempo, cuyo valor es el mismo en todo instante.

Si el sistema viene descrito por una serie de coordenadas generalizadas $q k$ , una constante de movimiento cumpliría

$C=C(q_k,\dot{q}_k,t)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=0$

Desarrollando aquí la derivada total queda la condición para que C sea una constante

$\sum_k \frac{\partial C}{\partial q_k}\dot{q}_k+\sum_k \frac{\partial C}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k+\frac{\partial C}{\partial t}=0$

A partir de las ecuaciones de Lagrange pueden obtenerse expresiones para las segundas derivadas que, sustituidas aquí deberían llevar a la anulación del primer término, si efectivamente C es una constante.

La búsqueda de constantes de movimiento es una tarea que puede ser complicada, ya que las posibles combinaciones de coordenadas generalizadas son infinitas. Aquí conideraremos solo los casos matemáticamente más simples.

2 Coordenadas cíclicas

Suponemos el caso más simple de coordenadas generalizadas independientes y ausencia de fuerzas no conservativas. En estas condiciones se satisfacen las ecuaciones de Lagrange

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=0$

siendo la lagrangiana del sistema

$\mathcal{L}(q_k,\dot{q}_k,t)=K-U$

Una coordenada $q 1$ se dice $c c l i c a$ o $i g n o r a b l e$ si no aparece en la lagrangiana, es decir

$\mathcal{L}(q_2,\ldots,q_n,\dot{q}_1\,\ldots,\dot{q}_n,t)$

y por tanto se anula derivada parcial

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_1}=0$

Esto implica, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange, que

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_1}=\beta_1 = \mathrm{cte}$

A la derivada parcial

$p_j=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j}(q_k,\dot{q}_k,t)$

se la denomina el momento conjugado de la coordenada $q j$ . Por tanto, si $q 1$ es cíclica su momento conjugado $p 1$ es una constante de movimiento de valor $β 1$ dado por las condiciones iniciales.

Hay una estrecha relación entre las constantes de movimiento y las simetrías del sistema.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada cartesiana, su momento conjugado representa la cantidad de movimiento en dicha dirección. Por tanto, si el sistema tiene simetría traslacional, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento rectilíneo, entonces se conserva una componente de la cantidad de movimiento.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada angular en torno a un eje, su momento conjugado representa el momento cinético asociado a giros en torno al eje. Por tanto, si el sistema tiene simetría de revolución, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento en torno al eje, entonces se conserva una componente del momento cinético.

3 Función de Routh

4 Energía y función hamiltoniana

Leyes de conservación en mecánica analítica (CMR)

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1 Introducción

2 Coordenadas cíclicas

3 Función de Routh

4 Energía y función hamiltoniana

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