Leyes de conservación en mecánica analítica (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Coordenadas cíclicas
3 Función de Routh
4 Energía y función hamiltoniana
5 Teorema de Noether

1 Introducción

Una constante de movimiento o integral primera es una función dependiente de las coordenadas, velocidades y posiblemente el tiempo, cuyo valor es el mismo en todo instante.

Si el sistema viene descrito por una serie de coordenadas generalizadas $q k$ , una constante de movimiento cumpliría

$C=C(q_k,\dot{q}_k,t)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=0$

Desarrollando aquí la derivada total queda la condición para que C sea una constante

$\sum_k \frac{\partial C}{\partial q_k}\dot{q}_k+\sum_k \frac{\partial C}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k+\frac{\partial C}{\partial t}=0$

A partir de las ecuaciones de Lagrange pueden obtenerse expresiones para las segundas derivadas que, sustituidas aquí deberían llevar a la anulación del primer término, si efectivamente C es una constante.

La búsqueda de constantes de movimiento es una tarea que puede ser complicada, ya que las posibles combinaciones de coordenadas generalizadas son infinitas. Aquí consideraremos solo los casos matemáticamente más simples.

2 Coordenadas cíclicas

Suponemos el caso más simple de coordenadas generalizadas independientes y ausencia de fuerzas no conservativas. En estas condiciones se satisfacen las ecuaciones de Lagrange

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=0$

siendo la lagrangiana del sistema

$\mathcal{L}(q_k,\dot{q}_k,t)=K-U$

Una coordenada $q 1$ se dice cíclica o ignorable si no aparece en la lagrangiana, es decir

$\mathcal{L}(q_2,\ldots,q_n,\dot{q}_1\,\ldots,\dot{q}_n,t)$

y por tanto se anula derivada parcial

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_1}=0$

Esto implica, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange, que

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_1}\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_1}=\beta_1 = \mathrm{cte}$

A la derivada parcial

$p_j=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j}(q_k,\dot{q}_k,t)$

se la denomina el momento conjugado de la coordenada $q j$ . Por tanto, si $q 1$ es cíclica su momento conjugado $p 1$ es una constante de movimiento de valor $β 1$ dado por las condiciones iniciales.

Hay una estrecha relación entre las constantes de movimiento y las simetrías del sistema.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada cartesiana, su momento conjugado representa la cantidad de movimiento en dicha dirección. Por tanto, si el sistema tiene simetría traslacional, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento rectilíneo, entonces se conserva una componente de la cantidad de movimiento.

Péndulo colgado de un carrito

Supongamos un péndulo simple de masa $m 2$ que cuelga de una varilla ideal, rígida y sin masa, de longitud $\ell$ , cuyo otro extremo no está articulado a un punto fijo sino a un carrito de masa $m 1$ que puede deslizar sin rozamiento por un eje horizontal. El péndulo solo puede oscilar en el plano vertical. En ese caso el sistema tiene 2 grados de libertad y podemos poner las dos posiciones como

$\left\{\begin{array}{rcl} x_1 & = & x \\ y_1 & = & 0 \end{array}\right.\qquad\qquad \left\{\begin{array}{rcl} x_2 & = & x +\ell\,\mathrm{sen}(\theta)\\ y_2 & = & -\ell\cos(\theta) \end{array}\right.$

siendo la energía cinética

$K=\frac{1}{2}m_1\left(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2\right)+\frac{1}{2}m_2\left(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2\right)=\frac{m_1+m_2}{2}\dot{x}^2 + m_2\ell\dot{x}\dot{\theta}\cos(\theta)+\frac{m_2\ell^2}{2}\dot{\theta}^2$

y la potencial

$U=m_2gy_2=-m_2g\ell\cos(\theta)\,$

restando llegamos a la lagrangiana

$\mathcal{L}=\frac{m_1+m_2}{2}\dot{x}^2 + m_2\ell\dot{x}\dot{\theta}\cos(\theta)+\frac{m_2\ell^2}{2}\dot{\theta}^2+m_2g\ell\cos(\theta)$

En esta lagrangiana, x es cíclica. Esto expresa que es independiente el punto del eje horizontal donde coloquemos el carrito, siempre que se mantenga la posición relativa entre éste y el péndulo. Hallamos el momento conjugado

$p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=(m_1+m_2)\dot{x}+m_2\ell\dot{\theta}\cos(\theta)$

Esta cantidad es una constante de movimiento del problema. Físicamente representa la componente horizontal de la cantidad de movimiento. Cuando la lenteja del péndulo se mueve hacia la derecha, el carrito se ve impulsado hacia la izquierda y viceversa.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada angular en torno a un eje, su momento conjugado representa el momento cinético asociado a giros en torno al eje. Por tanto, si el sistema tiene simetría de revolución, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento en torno al eje, entonces se conserva una componente del momento cinético.

Fuerzas centrales

Supongamos una partícula sometida a una fuerza central dependiente sólo de la distancia al origen de coordenadas. Si esta partícula se mueve en el plano OXY su lagrangiana en coordenadas polares será de la forma

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2\right)-U(\rho)$

En esta lagrangiana el ángulo $θ$ es cíclico, por lo que su momento conjugado es una constante de movimiento

$p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=m\rho^2\dot{\theta}$

Este momento representa la componente Z del mómento cinético respecto al origen de coordenadas.

3 Función de Routh

Cuando se tiene una coordenada cíclica $q 1$ se sabe que su momento conjugado $p 1$ es una constante de valor $β 1$ . A partir de esta constante puede normalmente despejarse la velocidad generalizada $\dot{q}_1$ . Puede plantearse entonces la reducción del sistema en una variable aprovechando que $q 1$ no aparece en la lagrangiana y que $\dot{q}_1$ puede ponerse en función del resto de coordenadas y constantes.

No obstante, el procedimiento a seguir no consiste en la simple sustitución en $\mathcal{L}$ . Esto produciría ecuaciones incorrectas. Para la reducción del sistema deben seguirse los siguientes pasos:

Identifíquese la coordenada cíclica $q 1$ (puede haber más de una) que no aparece en la lagrangiana (¡ojo! sí que aparece $\dot{q}_1$ )
Calcúlese su momento conjugado $p_1=\partial\mathcal{L}/\partial \dot{q}_1$ . Este momento es una función de $\dot{q}_1$ y del resto de coordenadas y velocidades, siendo una constante de movimiento.
Hállese, si es posible, el valor concreto, $β 1$ del momento generalizado a partir de las condiciones iniciales.
Despéjese la velocidad generalizada $\dot{q}_1$ de la expresión de $p 1$

$\dot{q}_1 = \dot{q}_1(\beta_1,q_2,\ldots,\dot{q}_2,\ldots,t)$

Sustitúyase en la lagrangiana
Calcúlese la denominada función de Routh, que equivale a la lagrangiana reducida

$\mathcal{R}=\mathcal{R}(\beta_1,q_2,\ldots,\dot{q}_2,\ldots,t)=\mathcal{L}-\dot{q}_1\beta_1$

Las nuevas ecuaciones de movimiento, ya con un grado de libertad menos, se calculan con esta función

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial q_k}=0\qquad\qquad k = 2,\ldots$

Si fuera necesario hallar $q 1$ se calcula integrando respecto al tiempo la ecuación

$\dot{q}_1 = -\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \beta_1}$

Si hay más de una coordenada cíclica, la correspondiente función de Routh se halla como

$\mathcal{R}=\mathcal{R}(\beta_1,\ldots,\beta_n,q_{n+1},\ldots,\dot{q}_{n+1},\ldots,t)=\mathcal{L}-\sum_{k=1}^n\dot{q}_k\beta_k$

Fuerzas centrales

Siguiendo con el ejemplo anterior, si la lagrangiana es

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2\right)-U(\rho)$

y hemos demostrado que es constante

$p_\theta=L_z=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=m\rho^2\dot{\theta}$

De aquí podemos despejar la velocidad angular

$\dot{\theta}=\frac{L_z}{m\rho^2}$

Construimos la función de Routh

$\mathcal{R}=\mathcal{L}-\dot{\theta}p_\theta=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\frac{L_z^2}{m^2\rho^2}\right)-U(\rho)-\frac{L_z^2}{m\rho^2}=\frac{1}{2}m\dot{\rho}^2-\left(\frac{L_z^2}{2m\rho^2}+U(\rho)\right)$

vemos que el cambio reduce el problema a una sola variable con un potencial diferente.

Hallamos la ecuación de movimiento

$\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \dot{\rho}}=m\dot{\rho}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \dot{\rho}}\right)=m\ddot{\rho}\qquad\qquad\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial\rho}=\frac{L_z^2}{m\rho^3}-U'(\rho)$

$m\ddot{\rho}-\frac{L_z^2}{m\rho^3}+U'(\rho)=0$

4 Energía y función hamiltoniana

4.1 Función hamiltoniana

El tiempo t que aparece en la lagrangiana no es una coordenada generalizada, ya que su papel en las ecuaciones es diferente al resto. No obstante, de la misma manera que la ausencia de $q 1$ implica una ley de conservación de su momento conjugado, la independencia temporal de la lagrangiana también implica una constante de movimiento.

En un sistema en el que

Todas las fuerzas aplicadas son conservativas
Todos los vínculos son o bien holónomos o bien [[1]]
La lagrangiana no depende explícitamente del tiempo

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0$

la constante de movimiento no es la propia lagrangiana (es decir,de que se anule la derivada parcial no se deduce que se anule la derivada total), sino que la cantidad que se conserva es la denominada función hamiltoniana

$h = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}-\mathcal{L}$

Esta función coincide en muchos casos, pero no siempre, con la energía mecánica del sistema. Por ello, se dice que esta cantidad conservada es del tipo energía.

4.2 Demostración

Partimos de la ecuación de Lagrange

$\sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}-Q_k^\mathrm{nc}\right)\delta q_k=0$

Si todas las fuerzas aplicadas son conservativas, el último término se anula.

Suponemos un sistema de coordenadas tal que se satisfacen de manera automática todos los vínculos holónomos. Los únicos vínculos restantes entre los diferenciales corresponden a los vínculos no holónomos. Hemos supuesto que estos últimos son catastáticos, es decir que en ellos coinciden los desplazamientos posibles con los virtuales. Por tanto, podemos escribir la ecuación anterior como

$\sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}\right)\mathrm{d}q_k=0$

Dividiendo aquí por el diferencial de tiempo obtenemos una relación con las velocidades en lugar de los diferenciales

$\sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}\right)\dot{q}_k=0$

Por otro lado, si hallamos la derivada total respecto al tiempo de la lagrangiana

$\mathcal{L}=\mathcal{L}(q_k,\dot{q}_k,t)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}t}=\sum_k\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_k}\dot{q}_k+\sum_k\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}$

Despejando de aquí y llevándolo a la ecuación anterior nos queda

$\sum_k\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}\right)\dot{q}_k+\sum_k\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k-\frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0$

Las dos primeras sumas pueden combinarse aplicando la regla de derivación de un producto y obtenemos finalmente

$0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_k\dot{q}_k\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}-\mathcal{L}\right)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial t}$

Por tanto, si además de las condiciones anteriores la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo se deduce que

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0\qquad\Rightarrow\qquad h = \sum_k\dot{q}_k\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}-\mathcal{L}=\mathrm{cte.}$

4.3 Estructura de la lagrangiana

Podemos descomponer la lagrangiana en suma de varios términos, de manera que obtengamos una respuesta clara de cuál es el aspecto de la función h, cuya expresión anterior no hace evidente que se trata de algo relacionado con la energía.

Cuando se definen las coordenadas generalizadas a través de las relaciones

$x_i=x_i(q_k,t)\qquad\qquad i=1,\ldots,3N\qquad k=1,\ldots,3N-r$

se llega a una relación entre velocidades

$\dot{x}_i=\sum_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial x_i}{\partial t}$

Si sustituimos esta expresión en la energía cinética

$K=\frac{1}{2}\sum_i m_i \left(\sum_r \frac{\partial x_i}{\partial q_r}\dot{q}_r+\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)\left(\sum_s \frac{\partial x_i}{\partial q_s}\dot{q}_s+\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)=K_2+K_1+K_0$

donde los tres sumandos vienen dados por

Término cuadrático: es una combinación de productos de las velocidades generalizadas

$K_2=\frac{1}{2}\sum_{r,s}m_{rs}\dot{q}_r\dot{q}_s\qquad\qquad m_{rs}=\sum_i m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_r}\,\frac{\partial x_i}{\partial q_s}$

Término lineal: es combinación de las velocidades generalizadas

$K_1=\sum_r b_r \dot{q}_r \qquad\qquad b_r = \sum_i m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_r}\,\frac{\partial x_i}{\partial t}$

Término independiente: no depende de las velocidades generalizadas

$K_0 =\frac{1}{2}\sum_i m_i\left(\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)^2$

En el caso de que en la definición de las coordenadas generalizadas no aparezca el tiempo los términos $K 1$ y $K 0$ se anulan y solo aparece $K 2$

Cuando se hace esta descomposición puede demostrarse desarrollando y sustituyendo, que la función hamiltoniana es igual a

$h=K_2-K_0+U\,$

por lo cual:

Si $K 0 = 0$ se anula la función hamiltoniana coincide con la energía mecánica del sistema.
Si $K_0\neq 0$ la función hamiltoniana no coincide con la energía mecánica, pero se parece a ella.

Sistemas en rotación

Un caso típico en el que la hamiltoniana no coincide con la energía mecánica es aquél en que se emplea un sistema de referencia en rotación.

Supongamos una partícula que se mueve en el plano OXY, estando su posición descrita por las coordenadas cartesianas (x,y) o por polares $(ρ,θ)$ . Si esa misma partícula la analizamos desde un sistema de referencia que gira con velocidad angular constante $Ω$ , en este sistema sus coordenadas polares serán $(\rho,\varphi)$ con

$\theta=\varphi+\Omega t$

de manera que la energía cinética de esta partícula vale

$K = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2)= \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2(\dot{\varphi}+\Omega)^2)=K_2+K_1+K_0$

con

$K_2= \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2)\qquad\qquad K_1=m\rho^2\Omega\dot{\varphi}\qquad\qquad K_0=\frac{1}{2}m\Omega^2\rho^2$

Si esta partícula se mueve sometida a una fuerza conservativa, la cantidad conservada es

$h = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2)-\frac{1}{2}m\Omega^2 \rho^2 + U(\vec{r})$

es decir,tiene la misma forma que el de una partícula en ausencia de rotación del sistema de referencia, pero con una energía potencial diferente

$U_\mathrm{ef}=U-\frac{1}{2}m\Omega^2 \rho^2$

A este término extra, que es como el de un oscilador armónico pero cambiado de signo, se lo denomina potencial centrífugo y permite describir los sistemas como si la fuerza centrífuga estuviera presente y tendiera al mínimo potencial centrífugo.

5 Teorema de Noether

Las leyes de conservación expuestas anteriormente pueden interpretarse en términos de las denominadas simetrías del sistema.

Un sistema se dice que tiene simetría traslacional o que es homogéneo si no se ve afectado por un cambio en una coordenada cartesiana. Así, por ejemplo, al colocar un objeto en una mesa horizontal, su dinámica no se ve afectada por el punto de la mesa en el que lo situemos. En el caso de una simetría traslacional, la lagrangiana no depende de dicha coordenada x y por tanto su momento conjugado, la cantidad de movimiento, es una constante de movimiento.

$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(x+\Delta x)\ \forall \Delta x\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0\qquad\Rightarrow\qquad p_x=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=\mathrm{cte.}$

Un sistema se dice que tiene simetría de revolución o que es isótropo si no se ve afectado por un cambio en una coordenada angular que da una dirección. En este caso la lagrangiana no depende de esta variable y su momento conjugado, el momento cinético alrededor del eje de giro correspondiente se conserva.

$\mathcal{L}(\theta)=\mathcal{L}(\theta+\Delta \theta)\ \forall \Delta \theta\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \theta}=0\qquad\Rightarrow\qquad L_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\mathrm{cte.}$

Un sistema se dice que tiene invariancia temporal si no depende explícitamente del tiempo, es decir, la evolución del sistema no depende del instante en que empiece a evolucionar. En este caso la lagrangiana no depende del tiempo y como consecuencia se conserva la función hamiltoniana

$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}(t+\Delta t)\ \forall \Delta t\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial t}=0\qquad\Rightarrow\qquad h=\sum_k \dot{q}_k\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q_k}}-\mathcal{L}=\mathrm{cte.}$

Nos planteamos entonces una generalización de estos resultados a simetrías de otros tipos. Así, por ejemplo, en el caso de un tornillo, el sistema depende de la coordenada z (ya que una traslación pura nos haría chocar con el filo) y del ángulo θ (ya que con una rotación pura pasaría algo parecido). Sin embargo, para un tornillo el sistema no cambia si hacemos una traslación y alre mismo tiempo efectuamos una rotación proporcional. En ese caso, ¿qué cantidad es la que se conserva?

La respuesta la da el teorema de Noether que nos dice que si tenemos una transformación

$q_k\to q_k + \varepsilon b_k \qquad\qquad \dot{q}_k\to \dot{q}_k+\varepsilon \dot{b}_k\qquad\qquad t\to t+ \varepsilon b_0$

es decir, que si cambiamos el tiempo y las coordenadas no de forma arbitraria por separado sino con variaciones proporcionales según los coeficientes $b k$ y esta transformación deja invariante la lagrangiana, en ese caso es constante la cantidad

$C=\left(\sum_k \dot{q}_k\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q_k}}-\mathcal{L}\right)b_0-\sum_k \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}b_k=\mathrm{cte}$

El caso del tornillo

Supongamos un sistema en el que, en cilíndricas, la energía potencial depende de z y de θ pero que no cambia cuando se realiza un desplazamiento helicoidal de paso de rosca b, es decir, que si θ aumenta en 2π y z aumenta en b (o cantidades proporcionales a estas) el sistema no cambia. En este caso, la lagrangiana es invariante ante la transformación

$z\to z + \varepsilon b\qquad\qquad \theta \to \theta+2\pi\varepsilon$

en ese caso, la cantidad que permanece constante no es ni la cantidad de movimiento ni el momento cinético sino

$C=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{z}}b+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}2\pi=p_zb+2\pi L_z$

Leyes de conservación en mecánica analítica (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Coordenadas cíclicas

3 Función de Routh

4 Energía y función hamiltoniana

4.1 Función hamiltoniana

4.2 Demostración

4.3 Estructura de la lagrangiana

5 Teorema de Noether

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