Bola que rueda por una pendiente

De Laplace

Revisión a fecha de 22:05 29 ene 2015; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Relación entre aceleraciones
4 Energías
5 Aceleración
- 5.1 A partir de las fuerzas
6 Coeficiente de rozamiento mínimo

1 Enunciado

Una esfera metálica de acero con radio $R=5\,\mathrm{cm}$ ) se encuentra inicialmente en reposo a una altura $z=15\,\mathrm{m}$ y desciende rodando sin deslizar por el plano inclinado con un ángulo $\beta=30^\circ$ . El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el cilindro es $μ$ . El rozamiento por rodadura es despreciable.

¿Qué relación existe entre la aceleración angular de la esfera y la lineal de su centro de masas?
¿Cuánto valen la energía cinética de rotación, la cinética de traslación, la potencial (tomando $z = 0$ como referencia) y la mecánica cuando se halla en $z=5\,\mathrm{m}$ ?
¿Cuánto vale, en módulo, la aceleración lineal del centro de masas de la esfera?
¿Cuál es el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento $μ$ si la esfera rueda sin deslizar?

Dato: Momento de inercia de una esfera de masa $M$ y radio $R$ respecto a un eje que pasa por su centro: $I = (2 / 5) M R 2$ . Aceleración de la gravedad $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Densidad de masa del acero: $\rho = 7850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ .

2 Introducción

Este problema es una consecuencia inmediata de lo que se discute en teoría sobre rodadura, siendo en este caso la fuerza aplicada la componente útil del peso (la tangencial al plano).

3 Relación entre aceleraciones

Elegimos un sistema de ejes en el que el eje OX es el tangencial al plano en la dirección de descenso, OY el normal al plano hacia fuera de él y OZ el perpendicular a la figura y en el sentido hacia afuera de ésta (o de la pantalla).

En este sistema, la velocidad y la aceleración del CM es en la dirección de movimiento, es decir

$\vec{v}_C=v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_C = a_C\vec{\imath}$

mientras que la velocidad y la aceleración angular son perpendiculares al plano de la figura

$\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}$

Por estar rodando sin deslizar, se anula la velocidad del punto A de contacto entre la bola y el suelo.

$\vec{0}=\vec{v}_A=\vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}$

siendo

$\overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}$

sustituyendo en la expresión anterior llegamos a la relación escalar

$v_C+\omega R = 0\qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{v_C}{R}$

y derivando en esta expresión

$\alpha = -\frac{a_C}{R}$

Esta es una relación escalar entre componentes. Los vectores tienen direcciones diferentes

$\vec{a}_C=a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=-\frac{a_C}{R}\vec{k}$

Para nuestro caso concreto, empleando el SI, queda la relación

$R = 0.05\,\mathrm{m}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = -20a_C$

4 Energías

Las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son su peso (que es una fuerza conservativa) y la de rozamiento estático, que no realiza trabajo por ser nula la velocidad del punto de contacto.

Esto quiere decir que en este sistema se conserva la energía mecánica

K T + K R + U = E = cte

Inicialmente, la esfera está en reposo a una altura H = 15m, por lo que el valor de la energía mecánica es en todo momento

$E = U_0 = MgH = 604\,\mathrm{J}$

siendo la masa

$M = \rho V = \frac{4\pi}{3}R^3=4.11\,\mathrm{kg}$

Cuando está a una altura H = 5 m, la energía potencial se ha reducido a

$U = M g h = 201\,\mathrm{J}$

y el resto de la energía mecánica se ha ido en energía cinética. Para ver cómo se reparte entre energía de rotación y de traslación observamos que

$K_T = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2\qquad\qquad K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2$

Estas dos cantidades se relacionan observando que para una esfera que rueda

$I = \frac{2}{5}MR^2\qquad\qquad |\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}_C|}{R}$

y por tanto

$K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}MR^2\right)\left(\frac{|\vec{v}_C|}{R}\right)^2 = \frac{2}{5}K_T$

Llevando esto a la ley de conservación de la energía mecánica

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): K_T + \frac{2}{5}K_T + U = E\qquad\Rightarrowºqquad K_T = \frac{5}{7}(E-U)

siendo su valor numérico