Electrostática en presencia de conductores (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 07:48 7 jun 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Equilibrio electrostático

La propiedad básica de los materiales conductores en electrostática es el estado de equilibrio electrostático. Este estado es aquel en que las cargas del conductor no se mueven, aunque podrían hacerlo. Si no se mueven es porque se encuentran en equilibrio y la fuerza sobre cada una de ellas es nula.

El proceso por el cual un conductor llega al equilibrio electrostático es el siguiente:

Cuando se tiene un material conductor, como puede ser una disolución salina o un metal, y se aplica un campo eléctrico externo, aparece una fuerza sobre las cargas positivas en un sentido y sobre las cargas negativas en el opuesto.

$\vec{F}=q\vec{E}_\mathrm{aplicado}$

Dado que lo que caracteriza a un material conductor es que permite el movimiento de cargas por su interior, el resultado es una separación entre las cargas, las positivas a un lado y las negativas a otro.

Ahora bien, en el momento en que las cargas se separan y surgen densidades de carga opuestas, aparece un campo eléctrico adicional debido a las propias cargas del conductor, de forma que ahora la fuerza sobre cada carga del material es

$\vec{F}=q(\vec{E}_\mathrm{aplicado}+\vec{E}_\mathrm{propio})$

Este campo propio va en sentido opuesto al aplicado, por lo que la fuerza se reduce.

El proceso de separación de carga se detiene cuando el campo propio anula completamente al campo aplicado.

$\vec{E}=\vec{E}_\mathrm{aplicado}+\vec{E}_\mathrm{propio}=\vec{0}$

A partir de ese momento ya no hay más separación de carga y el sistema se queda en ese estado. Se ha alcanzado el equilibrio electrostático.

Si ahora se modifican las condiciones exteriores (cambiando el campo aplicado) se produce una nueva redistribución de la carga hasta que se llegue a un nuevo estado de equilibrio, en el que las cargas estarán en una posición diferente. El periodo durante el cual las cargas se están moviendo entre equilibrio y equilibrio, se denomina el periodo transitorio y suele ser muy corto en la mayoría de los materiales (microsegundos o menos).

Hay que destacar que la separación de cargas nunca llega, ni de lejos, a mover todas las cargas del material hasta llegar a agotarlas. dada la intensidad del campo eléctrico de una carga puntual, basta que una pequeñísima fracción de las cargas disponibles se separe para que lleguen a anular el campo aplicado.

En el equilibrio electrostático, las cargas están en reposo y por tanto las expresiones dadas en el tema de electrostática en el vacío siguen siendo válidas. Sin embargo, dado que las cargas de un conductor se redistribuyen continuamente a medida que cambian las condiciones externas, la densidad de carga es desconocida. Puesto que las expresiones que conocemos para el campo y el potencial presuponen que conocemos cómo se distribuyen, nos preguntamos entonces cómo podemos hallar el campo o el potencial eléctrico. Este es el denominado problema del potencial que veremos más adelante.

2 Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático

Un conductor en equilibrio electrostático se caracteriza porque en él las cargas se encuentran en reposo, aunque tendrían la posibilidad de moverse. Esto implica una larga serie de propiedades:

El campo eléctrico en el material conductor es nulo: Si no fuera así, habría fuerza sobre las cargas y estas se moverían.

$\vec{E}=\vec{0}$

El potencial eléctrico en todos los puntos del conductor tiene el mismo valor: Basta tomar dos puntos A y B del conductor e integrar a lo largo de un camino que vaya íntegramente por el conductor

$V_A-V_B=\int_A^B\overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=0$

La superficie del conductor es una superficie equipotencial: Es un caso particular de la propiedad anterior.
No puede haber líneas de campo que salgan del conductor y acaben en él: El campo eléctrico siempre va de mayor a menor potencial y la superficie es equipotencial. Esto es cierto tanto si consideramos una línea directa, como una que pasa antes por otro sitio (por ejemplo, no puede haber una línea que vaya del conductor 1 al 2 y simultáneamente otra del 2 al 1).
La densidad volumétrica de carga es nula: Consideremos una superficie cerrada S cuyo volumen interior se encuentra totalmente en el material. Al aplicar la ley de Gauss

$Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint_S\overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0$

y puesto que esto es cierto para cualquier superficie cerrada de este tipo, la conclusión es que no puede haber densidad de carga de volumen

ρ = 0

Esto no quiere decir que un conductor no pueda estar cargado, solo que esta carga no está repartida por el volumen.
Toda la carga del conductor está en su superficie: Ya que no puede haber una densidad volumétrica, toda carga que haya estará en la superficie (técnicamente, en una fina capa de varios nanómetros de espesor). Esto es así incluso en un conductor que tenga carga nula, ya que al decir que un conductor está descargado nos referimos siempre a la carga total. Puesto que un conductor está formado por billones de cargas positivas y negativas, es posible (de hecho, lo habitual) que haya una densidad de carga positiva en una parte de la superficie y negativa en otra. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, si sobre un conductor descargado aplicamos un campo externo.
El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie: El campo eléctrico se anula dentro del conductor, pero no fuera de él. El campo exterior es una superposición del aplicado y del debido a las cargas del propio conductor (que también producen campo en el exterior). Puesto que la superficie del conductor es equipotencial, el campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie (ya que siempre es ortogonal a las equipotenciales).
El módulo del campo exterior es proporcional a la densidad de carga superficial: Siempre que tenemos una densidad de carga superficial (como en los ejemplos del disco, el plano o los planos cargados o la superficie esférica cargada) se produce un slato en el campo eléctrico, que depende de cuánta carga haya en la superficie. El salto es igual en todos los casos a $\sigma_s/\varepsilon_0$ . Teniendo en cuenta que en el interior del material el campo es nulo y que por la propiedad anterior el campo es perpendicular a la superficie, queda la expresión para el campo exterior

$\vec{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{n}$

Este campo va hacia afuera del conductor donde la densidad de carga es positiva y hacia adentro donde es negativa (ya que $\vec{n}$ es siempre la normal hacia el exterior).

Esta última propiedad parece sugerir que no se cumple el principio de superposición, ya que si ahora a cercamos una carga puntual, ¿no sería el campo ( $\sigma_s/\varepsilon_0)\vec{n}+\vec{E}_q$ es decir, la suma del que ya había más el de la carga? No, sigue siendo igual a $\sigma_s/\varepsilon_0)\vec{n}$ . Lo que ocurre es que si acercamos una carga, las cargas del conductor se redistribuyen y

σ s

cambia. Es decir, esta ecuación relaciona el campo en la superficie con la densidad superficial de carga, pero no nos dice cuanto vale cada una de las cantidades. La densidad de carga en un conductor también es una incógnita del problema.

3 Problema del potencial

Si las densidades de carga en los conductores son variables y desconocidas, ¿cómo puede hallarse el campo eléctrico que producen?

La forma de hacerlo es resolviendo el llamado problema del potencial, cuyo planteamiento sería aproximadamente el siguiente: tenemos un conjunto de conductores de forma arbitraria, entre los cuales se encuentra en el vacío (en el cual puede haber una densidad conocida de carga); cada uno de los conductores se encuentra a un voltaje fijado por respectivas fuentes de tensión. Se trata de hallar la distribución de potencial eléctrico entre los conductores.

De hecho, puede hallarse el potencial en todos los puntos del espacio, pero en los propios conductores es trivial (el potencial en cada uno vale el potencial fijado por cada fuente), por lo que el problema se reduce a hallar el potencial entre los conductores.

Matemáticamente este es un problema de ecuaciones diferenciales, consistente en resolver la llamada ecuación de Poisson

$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

con la condición de que el potencial en la superficie de cada conductor es conocido.

$V = V_i\qquad (\vec{r} \in S_i)$

En esta introducción no veremos nada de cómo se plantea y se resuelve esta ecuación (tema que da para libros y cursos enteros), pero sí un resultado esencial de la teoría del potencial:

Teorema de existencia y unicidad: El problema del potencial posee solución y ésta es única.

¿Por qué esta propiedad es importante? Porque primero nos garantiza que hay solución (aunque no se pueda hallar analíticamente) pero además nos dice que es única. Por tanto, cualquier método vale para hallarla, incluyendo la inspiración o la analogía con problemas similares. Si una solución propuesta cumple la ecuación diferencial y las condiciones para el potencial en la superficie de cada conductor, es la solución, porque no hay otra.

El problema del potencial es extremadamente general ya que se aplica a cualquier conjunto de conductores de forma arbitraria, con lo que lo mismo vale para estudiar el campo alrededor de un avión volando que para fabricar un condensador de un ordenador, pasando por una gran variedad de situaciones intermedias.

Antes de comentar algunos casos concretos, conviene hacer una precisión sobre los datos del problema del potencial. Antes se dijo que los voltajes de cada uno de los conductores era conocido. Esto no siempre es así. Hay muchas situaciones en que el dato es la carga total del conductor. Tenemos entonces dos posibilidades:

Conductor aislado o a carga constante: Es aquél que no tiene ninguna conexión con fuente alguna ni con tierra (en los esquemas, que no hay ningún hilo que llegue a él). En un conductor aislado la carga total permanece constante (ya que no puede irse a ningún sitio), aunque su distribución es cambiante, dependiendo de las circunstancias externas. En este caso, podemos afirmar que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos, aunque no sepamos cuanto vale y que conocemos la carga total. Caso particular importante es el de un conductor aislado y descargado, en el cual no solo sabemos que la carga es constante, sino que además $Q = 0$ .
Conductor a potencial constante: Es aquel que está conectado a una fuente de tensión que fija su potencial en un valor fijado. La fuente hace esto metiendo o sacando cargas del conductor (del mismo modo que una bomba mete agua en un depósito para mantener su nivel). Esto quiere decir que no sabemos cuanta carga hay en el conductor, ya que ésta depende de las circunstancias externas. Entre las fuentes de potencial está la tierra o masa, que no es una verdadera fuente (en el sentido de una pila o batería) sino una conexión a un conductor gigantesco situado al potencial que tomamos como 0. Cuando un conductor está conectado a tierra su voltaje es 0 y pueden llegar o salir de él todas las cargas que sean necesarias para mantener este voltaje.

Según esto, al plantear el problema, o conocemos la carga total del conductor, o conocemos su potencial, pero nunca ambas cosas. Una vez resuelto el problema, sí podemos emplear la solución para hallar la cantidad que no conocíamos al principio.

Es importante no confundir conductor descargado con conductor a tierra.

Un conductor está descargado cuando está aislado y su carga total es $Q = 0$ , pero su potencial puede tener cualquier valor, positivo o negativo, dependiendo de si hay otros conductores o cargas en el sistema.

Un conductor está a tierra si su voltaje es el mismo que el del origen de potencial, $V = 0$ , pero su carga puede ser cualquiera, dependiendo del resto del sistema

$\left\{\begin{array}{rcl}Q = 0 & \not\Rightarrow & V = 0 \\ V = 0 & \not\Rightarrow & Q = 0\end{array}\right.$

A continuación se describen algunas propiedades generales de soluciones de problemas del potencial, que también se ilustrar en la sección de problemas.

3.1 Capacidad de un conductor

Cuando se tiene un solo conductor y nada más (ni más conductores, ni más cargas, ni campos aplicados), la cantidad de carga que almacena es proporcional al voltaje al que se encuentra respecto al infinito (que sería el origen de potencial). Si está a un 1 V almacena una carga $Q 0$ , si está a 2 V, el doble. Si está a −1 V teie una carga negativa $- Q 0$ . Esta relación de proporcionalidad se expresa

$Q = C V\,$

siendo $C$ la capacidad del conductor. Esta capacidad se mide en faradios (1F = 1C/V). La capacidad de un conductor es una propiedad geométrica, que no depende del voltaje al que se encuentre, solo de la forma del conductor.

Para el caso de un conductor esférico de radio $a$

$C = 4\pi\varepsilon_0a$

Esta capacidad es extremadamente pequeña en la mayoría de los casos. Así, para una esfera del tamaño de la Tierra

$a = R_T = 6370\,\mathrm{km}\qquad\qquad C = \frac{6.37\times 10^6}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}= 0.7\,\mathrm{mF}$

Esta relación de proporcionalidad entre $Q$ y $V$ de un conductor se da única y exclusivamente cuando solo tenemos ese conductor. En el caso de que haya más elementos en el sistema, ya no será cierta.

3.2 Efecto punta

Tal como se ve en el ejemplo de la conexión de dos esferas alejadas, si tenemos un conductor cuya superficie tiene una curvatura variable (puede tener una punta en una parte, y ser casi plano en otra), la densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor, es decir, en las puntas.

Esto se puede entender gráficamente de forma sencilla. Supongamos que tenemos una superficie en la que destaca una protuberancia (como puede ser un árbol, un pararrayos o una persona en un descampado). Puesto que la protuberancia es parte del conductor, se encuentra al mismo potencial que el resto del conductor (por ejemplo, a tierra).

Si ahora hay un campo eléctrico aplicado (como el debido a una nube de tormenta situada a un alto voltaje), en la parte de la protuberancia se produce la misma diferencia de potencial con la nube que en cualquier otro punto, pero sobre una distancia menor. Esto quiere decir que el campo eléctrico ahí es más intenso (ya que su integral sobre una distancia menor nos da la misma d.d.p.). Gráficamente, las superficies equipotenciales están más próximas cerca de la punta. Puesto que el campo en la proximidad de un conductor es proporcional a la densidad superficial de carga, se llega a que esta es mayor en la punta que en el llano.

Este efecto punta se encuentra en el principio de los pararrayos. Si el campo eléctrico es lo suficientemente intenso en las proximidades de un mástil, es capaz de ionizar el aire que lo rea, convirtiendo el aire en un plasma conductor. Cuando se produce la descarga, ésta fluye por un camino conductor, como lo haría por un cable, en este caso, por un “canal” en el aire, que llega hasta el pararrayos. Éste se encuentra conectado a tierra, por lo que la corriente no se detiene en la punta del pararrayos, sino que continúa por este camino distribuyéndose y amortiguándose por la superficie

3.3 Jaula de Faraday

3.3.1 Hueco vacío en un conductor

Hemos visto que en un material conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico es nulo, pero que en su exterior no lo es. ¿Qué ocurre si tenemos una cavidad?

Supongamos que un conductor tiene en su interior un hueco absolutamente vacío. En este caso, el campo en el interior del hueco es nulo. Es fácil ver por qué. Si no lo fuera, habría líneas de campo eléctrico en el interior, pero, ¿de donde a donde irían estas líneas de campo? No pueden dar vueltas sobre sí mismas, ni tampoco pueden acabar en la nada, ni salir del conductor y acabar en el mismo conductor. Por tanto, llegamos a la conclusión de que no puede haber líneas de campo ni campo en este hueco.

Este resultado es independiente delo que haya fuera del conductor, puede haber cargas, un campo aplicado, otros conductores, etc. Su influencia no llega hasta el interior del hueco.

3.3.2 Teorema de Faraday

Supongamos ahora que tenemos el mismo conductor, con el mismo hueco, pero que ahora ya no está vacío, sino que en el interior hay cargas eléctricas. Puede haber una, o varias, o una distribución continua, otro conductor cargado, etc. En este caso por supuesto que habrá campo eléctrico en el hueco. Si dentro lo que hay es una carga positiva, habrá líneas de campo que salgan de la carga y vayan a parar al conductor. Puesto que el campo entra en el conductor, debe haber una densidad superficial de carga negativa en la pared del hueco. A la inversa si la carga del interior del hueco es negativa.

¿Cuánta carga hay acumulada en la superficie del hueco? Supongamos que envolvemos al hueco con una superficie cerrada $S 0$ que se halla completamente contenida en el material conductor. De acuerdo con la ley de Gauss

$\varepsilon_0\oint_{S_0} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=Q_\mathrm{int}$

pero, por ser la superficie parte del material conductor el flujo es nulo

$\varepsilon_0\oint_{S_0} \overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0$

y por tanto la carga encerrada es nula. Esta carga es suma de la que hay dentro del hueco y la que hay en su superficie

$0 = Q_\mathrm{int}=Q_\mathrm{hueco}+Q_\mathrm{sup}\qquad \Rightarrow\qquad Q_\mathrm{sup}=-Q_\mathrm{hueco}$

es decir, en la pared del hueco se induce una carga igual en magnitud y de signo opuesto a la que haya dentro del hueco (teorema de Faraday). Esto es independiente de que la carga interior sea una carga puntual o una distribución. La carga de la superficie interior no se reparte uniformemente, sino que tendrá mayor densidad en los puntos más próximos a la carga interior.

¿De donde sale esta carga que se induce en la superficie del hueco? Depende de si el conductor está aislado o no.

Si si lo está, puesto que la carga de un conductor aislado permanece constante, solo puede provenir del propio conductor. Dado que la densidad de carga en un conductor se encuentra siempre en sus superficies, concluimos que debe provenir de la superficie exterior. Unos cuantos electrones se acumulan en la pared del hueco, y esto lo hacen abandonando algunos átomos de la superficie exterior, que por tanto ve aumentada su carga en $- Q sup = + Q hueco$ .

Si el conductor está unido a una fuente (o a tierra) esta carga proviene de la fuente, que aporta la carga necesaria para mantener el potencial del conductor.

3.3.3 Jaula de Faraday

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier conductor con cualquier hueco, con ayuda del teorema de existencia y unicidad.

Si tenemos un conductor a potencial fijado con un hueco en el que puede haber cargas, el campo eléctrico en el interior del hueco depende exclusivamente de la forma del hueco y de las cargas que haya en él. Todo lo que pase fuera (otros conductores, cargas, campos aplicados desde el exterior), es irrelevante, ya que no influye en lo que pase en el hueco. El conductor funciona como una pantalla o blindaje que protege al interior de lo que pase fuera. Se dice que el conductor funciona como una jaula de Faraday.

La protección funciona en los dos sentidos. Un observador o carga que se encuentre en el exterior del conductor no se entera en absoluto de la presencia de cargas en el hueco, ni de la propia existencia de éste. El conductor funciona como una pared opaca que apantalla lo que hay dentro de lo que hay fuera y viceversa.

Esta propiedad es muy importante en el diseño de toda clase de aparatos eléctricos y electrónicos, cuya carcasa es siempre una caja metálica puesta a tierra, que funciona como un blindaje. Un ejemplo sencillo lo tenemos en el caso de un cable coaxial como los que se usan para llevar la señal a los televisores. La malla metálica exterior se encuentra a tierra. De esta forma

Se evita que la señal que va por el interior se radie al exterior, perdiendo potencia de la señal.
Se impide que haya interferencias desde el exterior, que impidan la correcta recepción de la televisión.

4 Condensadores

4.1 Definición

Cuando tenemos un sistema de conductores separados por el vacío (o por un dieléctrico) y se fijan sus potenciales, habrá líneas de campo que vayan de uno a otro y también las habrá que vayan o vengan del infinito. En este sistema se almacena carga en cada conductor (que será positiva en algunos y negativa en otros). El sistema almacena igualmente una energía electrostática, que podemos situar en el campo eléctrico o en las cargas.

Podemos simplificar el estudio de la carga y la energía almacenada reduciendo el problema a partes más sencillas. Para ello nos centramos en lo que ocurre en cada par de conductores.

Dos superficies conductoras $S 1$ y $S 2$ están en influencia total cuando todas las líneas de campo que salen de una van a parar a la otra. Cuando tenemos dos superficies conductoras en ingluencia total se dice que tenemos un condensador y a las dos superficies se las conoce como las placas o armaduras del condensador. Su símbolo en teoría de circuitos está formado por dos líneas paralelas.

Una de las superficies tendrá carga positiva y la otra negativa. dado que el número de líneas de campo que salen de una van a parar a la otra, las dos cargas son iguales y opuestas.

$Q_2 = -Q_1\,$

Esto quiere decir que un condensador no almacena carga neta, ya que esta siempre es cero. Cuando se dice que un condensador almacena tal o cual carga o se encuentra cargado, se refiere siempre a la carga de la placa positiva.

Lo que sí almacena un condensador es energía eléctrica, por el campo eléctrico que hay entre las placas

4.2 Capacidad de un condensador

Cuando tenemos un condensador cargado, existe un campo eléctrico que va de la placa positiva a la negativa. Por tanto, habrá una diferencia de potencial entre ambas placas

$V_1-V_2 = \int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Esta d.d.p. es proporcional a la carga de las placas. Cuanto mayor sea la carga, mayor el campo y mayor la d.d.p. por lo que se puede escribir la relación

$Q_1 = C(V_1-V_2)\,$

siendo $C$ la capacidad del condensador. Puede definirse mediante la relación

$C = \frac{Q_1}{V_1-V_2}$

es decir, la capacidad de un condensador es igual al cociente entre la carga de una placa y la diferencia de potencial entre esa placa y la otra. Podemos tomar la placa que queramos como referencia, no necesariamente la positiva, ya que

$C = \frac{Q_1}{V_1-V_2}=\frac{-Q_2}{V_1-V_2}=\frac{Q_2}{V_2-V_1}$

La capacidad de un condensador se mide en faradios (F) con 1 F = 1 C/1 V. Esta unidad, no obstante, es demasiado grande para las capacidades usuales, que se miden en picofaradios (1pF = 10⁻¹²F), nanofaradios (1nF = 10⁻⁹F) y microfaradios (1μF = 10⁻⁶F)

A pesar de que en la definición aparecen la carga y la diferencia de potencial, la capacidad de un condensador es una propiedad geométrica, que depende de la forma y distancia de las superficies, así como de los materiales interpuestos, pero no de a qué tensión se encuentran.

Aunque son conceptos similares, no es lo mismo la capacidad de un conductor que se refiere a la carga de un conductor en completa soledad, con la capacidad de un condensador, que relaciona dos superficies enfrentadas.

4.2.1 Condensador plano

El caso más sencillo de condensador, y el más utilizado como modelo, es el condensador plano formado por dos placas conductoras planas y paralelas, de área $S$ y situadas a una distancia a $a$ la una de la otra.

Una de las placas almacena una carga $+ Q$ y la otra una $- Q$ . En un sistema real, el campo va de una placa a la otra, con líneas de campo que pueden ser curvadas

Sin embargo, si las placas están muy próximas, puede despreciarse el efecto de esas líneas exteriores (lo que se llaman los efectos de borde) y aproximar el campo entre las placas como uno entre dos planos paralelos de gran extensión.

En ese caso, la densidad de carga en cada placa es uniforme

$\sigma_1 = \frac{Q_1}{S}=\sigma_0\qquad\qquad \sigma_2 =\frac{Q_2}{S}=-\frac{Q_1}{S}=-\sigma_0$

y, tal como se ve en un problema, el campo vale lo mismo en todos los puntos entre las placas

$\vec{E}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{k}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\vec{k}$

por lo que la diferencia de potencial entre las placas vale

$V_1-V_2 = \int_1^2 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=Ea = \frac{a}{\varepsilon_0 S}Q_1$

lo que nos da la capacidad

$C = \frac{Q_1}{V_1-V_2}=\frac{\varepsilon_0S}{a}$

Vemos que el resultado no depende de la carga de las placas, sino del material interpuesto (vacío en este caso), el área de las placas (sin importar si son cuadradas, circulares o de otra forma) y la distancia entre ellas.

4.2.2 Condensador esférico

Un condensador esférico está formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios $a$ y $b$ . La esfera interior almacena una carga $Q 1$ y la superficie esférica del hueco una $Q 2 = - Q 1$ . Tal como se ve al estudiar el problema de dos esferas concéntricas con cargas $\pm Q$ la diferencia de potencial entre ellas es

$V_1 - V_2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$

lo que nos da la capacidad

$C = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\displaystyle\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}$

Este resultado contiene como caso particular la capacidad de un conductor esférico. Si consideramos una esfera en ausencia de más conductores, como un condensador una de cuyas placas es la propia esfera y la otra es la tierra, situada en el infinito, la capacidad equivale a tomar el límite $b\to\infty$

$\lim_{b\to\infty}\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}=4\pi\varepsilon_0a$

4.2.3 Condensador coaxial

Otro tipo común de condensador es el coaxial, formado por dos cilindros concéntricos, como en los cables de antena de un televisor, ilustrados más arriba. Para una porción de longitud $h$ de un cable de este tipo, con radio interior $a$ y exterior $b$ , la capacidad vale

$C = \frac{2\pi\varepsilon_0 h}{\ln(b/a)}$

4.3 Circuitos equivalentes

Una vez que se ha definido lo que es un condensador, su extensión es inmediata a cualquier sistema de conductores.

Cuando tenemos un conjunto de conductores, hbará líneas de campo que vaya de uno a otro y líneas que vayan al infinito. Construimos entonces un circuito en el que:

Cada conductor es representado por un nodo (“1”, “2”,…)
Hay un condensador entre cada par de nodos, que representa la influencia entre dos conductores.
Hay un condensador entre cada nodo y tierra, que representa ls líneas que van o vienen del infinito.
Hay una fuente de tensión ideal que fija el voltaje de cada conductor.

4.4 Asociaciones de condensadores

De entre los posibles sistemas de condensadores, existen dos asociaciones que son especialmente importante, ya que permiten reducir un conjunto de condensadores a un solo elemento con una capacidad equivalente a toda la asociación.

4.4.1 Condensadores en paralelo

Dos condensadores están en paralelo cuando están conectados por sus dos extremos, de forma que la diferencia de potencial entre placas es la misma para los dos

Δ V 1 = Δ V 2 = V A - V B

La carga almacenada en la placa positiva de cada condensador será diferente en cada caso

$Q_1 = C_1\,\Delta V_1 = C_1(V_A-V_B)\qquad\qquad Q_2 = C_2(V_A-V_B)$

La carga almacenada en el conductor A es la de todos los condensadores unidos al nodo correspondiente

$Q_A = Q_1+ Q_2 = C_1(V_A-V_B) + C_2(V_A-V_B) = (C_1+C_2)(V_A-V_B)\,$

Por tanto, la asociación es equivalente a un solo condensador de capacidad la suma de las dos individuales

$C_\mathrm{eq}=C_1+C_2\,$

4.4.2 Condensadores en serie

Dos condensadores están en serie cuando están conectados por uno de sus extremos, y el nodo de conexión está aislado y descargado (gráficamente, si en en el nodo de conexión no hay ninguna otra rama unida a una fuente u otro condensador).

En este caso, si el primer condensador tiene una carga $Q 1 = Q 0$ en su placa positiva, tendrá una carga $- Q 0$ en la negativa. Ahora bien, por ser el conductor central uno aislado y descargado, esta carga solo puede provenir del propio conductor, por lo que en la placa del condensador habrá una carga

$Q_2 = -(-Q_0) = Q_0\,$

es decir, la carga en la placa positiva de ambos condensadores es la misma. La diferencia de potencial en cada uno es diferente. Si D es el punto central

$V_A-V_D=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_0}{C_1}\qquad\qquad V_D-V_B=\frac{Q_2}{C_2} = \frac{Q_0}{C_2}$

La diferencia de potencial total de la asociación es la suma de estas dos

$V_A-V_D = (V_A-V_C)+(V_C-V_B) = \frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_1}{C_2}=\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)Q_0$

Puesto que el condensador equivalente cumple

$V_A-V_B=\frac{Q_0}{C_\mathrm{eq}}$

llegamos a

$\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)^{-1}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

La capacidad equivalente a dos condensadores en serie es menor que cualquiera de ellas. Por ejemplo, para un condensador de 3 nF, puesto en serie con uno de 6 nF

$C_\mathrm{eq}=\frac{(3\,\mathrm{nF})(6\,\mathrm{nF})}{(3\,\mathrm{nF})+(6\,\mathrm{nF})}=2\,\mathrm{nF}$

Podemos preguntarnos para qué sirve entonces asociar condensadores en serie. Aparte de que puede ocurrir que aparezcan de manera natural en el modelado de un sistema, pueden diseñarse de esta forma si lo que se desea es soportar una elevada diferencia de potencial. Si por ejemplo, tenemos una línea de alta tensión a 20kV, cuyo cable pasa por una torre, que está a tierra, el aislador que impide la descarga está formado por una serie de condensadores puestos en serie.

4.4.3 Combinación de asociaciones

Las asociaciones de condensadores en serie y en paralelo pueden asociarse a su vez, entre sí, reduciendo una red compleja a un conjunto mínimo de condensadores equivalentes.

Así, por ejemplo, la estructura

es una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie. Para hallar la capacidad equivalente, primero se asocian cada uno de los pares en serie y luego el conjunto de dos en paralelo, tal como se ve en un problema.

Este sistema:

es una asociación en serie de dos asociaciones en paralelo. Para reducirlo a uno solo se opera de forma análoga.

A la hora de identificar asociaciones en serie y en paralelo no hay que dejarse engañar por la disposición en el dibujo. Así, estos dos condensadores están en serie

y estos dos en paralelo

y estos, ni en serie ni en paralelo:

5 Energía en un sistema de conductores

Antes hemos dicho que en un sistema de conductores o en el equivalente circuito de condensadores se almacena energía eléctrica, porque las cargas se encuentran a cierto potencial o porque hay un campo eléctrico entre los conductores (ambas descripciones son equivalentes).

Consideraremos solo el caso de que toda la carga esté sobre los conductores y no en el espacio entre ellas. En este caso es de aplicación la fórmula para la energía de una distribución

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\int_S \sigma_s V(\vec{r})\,\mathrm{d}S$

ya que toda la carga está en la superficie de los conductores. En esta expresión el potencial es función de la posición, ya que tendrá un valor diferente para cada uno de los conductores del sistema. Esta integral sobre todas las superficies la podemos descomponer en una suma de integrales sobre cada uno de los conductores

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_k \int_S \sigma_s V_k\,\mathrm{d}S$

con la ventaja de que ahora el potencial en cada uno de los conductores tiene un solo valor, por lo que puede salir de cada integral

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_k V_k\int_S \sigma_s \,\mathrm{d}S=\frac{1}{2}\sum_k V_kQ_k$

es decir, la energía solo depende de los potenciales de los diferentes conductores y de cuanto vale la carga total en cada uno de ellos, pero no de como está distribuida sobre la superficie.

Puesto que de antemano no se conocen simultáneamente la carga y el potencial de cada conductor (o una cosa o la otra), la energía solo se puede hallar una vez que se ha resuelto el problema del potencial y calculado las cantidades desconocidas.

En el caso particular de una sola esfera con carga $Q$ su potencial vale

$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a}$

y por tanto su energía es

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}$

¿Cuánta energía hace falta para colocar una carga de 1 C es una esfera de 1 m de radio? Por simple sustitución obtenemos

$U_\mathrm{e}=9\times 10^9\,\mathrm{J}$

que es una cantidad gigantesca de energía, lo cual muestra la dificultad de concentrar una cantidad tan grande de carga. Es más, si se calcula la presión a la que estaría sometida la esfera debida a a las fuerzas eléctricas, se obtiene un valor de 4000 atmósferas, lo cual supera la resistencia de cualquier material conocido.

5.1 Energía de un condensador

En el caso particular de un condensador, tenemos dos superficies conductoras con cargas iguales y opuestas y una d.d.p. entre ellas. La energía almacenada en el condensador vale

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1 + \frac{1}{2}(-Q_1)V_2 = \frac{1}{2}Q_1(V_1-V_2)$

es decir, es igual a la carga del condensador (la de una se sus placas) multiplicada por la diferencia de potencial entre esa placa y la otra.

En función de la capacidad

$Q_1 = C(V_1-V_2)\qquad\Rightarrow\qquad U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2 = \frac{Q_1^2}{2C}$

Así, para un condensador plano queda

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_0 S}{a}(V_1-V_2)^2$

Podemos ver que se llega al mismo resultado a partir del campo eléctrico. En el caso de un condensador plano, el campo eléctrico es igual a

$\vec{E}=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}$

La densidad de energía eléctrica dentro del condensador

$u_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 |\vec{E}|^2 = \frac{\varepsilon_0}{2a^2}(V_1-V_2)^2$

y la energía total almacenada en él, teniendo en cuenta que el volumen equivale al área de las placas multiplicada por la distancia entre ellas

$U_\mathrm{e}=\int u_e\,\mathrm{d}v = \int \frac{\varepsilon_0}{2a^2}(V_1-V_2)^2\,\mathrm{d}v = \frac{\varepsilon_0}{2a^2}(V_1-V_2)^2 a S = \frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_0 S}{a}(V_1-V_2)^2 = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2$

Concluimos entonces que un condensador es un dispositivo que almacena energía eléctrica por tener un campo eléctrico entre sus placas.

En el caso de que tengamos un sistema de condensadores, la energía total será la suma de la energía almacenada en cada uno

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_i C_i(\Delta V_i)^2$

En particular, tanto para una asociación en serie como para una en paralelo la energía total es igual a la que almacenaría el condensador equivalente

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(\Delta V)^2$