Electrostática en presencia de conductores

De Laplace

1 UNIQ13fba552325c9233-h-0--QINUEquilibrio electrostático

La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual las cargas se encuentran en reposo.

La condición de reposo implica que la fuerza neta sobre cada carga es nula. Puesto que la fuerza sobre las cargas en reposo es una fuerza eléctrica, la condición de equilibrio implica que en el material conductor

2 UNIQ13fba552325c9233-h-1--QINUPropiedades de los conductores en equilibrio

Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático

• El material conductor es equipotencial.
• No hay densidad de carga de volumen en el material.
• Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
• No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
• El campo justo en el exterior de la superficie es de la forma

3 UNIQ13fba552325c9233-h-2--QINUProblema del potencial

Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la ecuación de Poisson

en el espacio UNIQ13fba552325c9233-math-00000003-QINU entre los conductores, con las condiciones de contorno

siendo UNIQ13fba552325c9233-math-00000006-QINU la superficie del conductor UNIQ13fba552325c9233-math-00000007-QINU. Para aquellos conductores cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las condiciones

siendo UNIQ13fba552325c9233-math-00000009-QINU una superficie que envuelve al conductor UNIQ13fba552325c9233-math-0000000A-QINU.

La solución del problema del potencial puede escribirse como una superposición

siendo UNIQ13fba552325c9233-math-0000000C-QINU el potencial que habría si la densidad de carga estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra

y UNIQ13fba552325c9233-math-00000011-QINU es el potencial supuesto que el conductor UNIQ13fba552325c9233-math-00000012-QINU está a potencial unidad y el resto a tierra

4 UNIQ13fba552325c9233-h-3--QINUCoeficientes de capacidad

Si no hay densidad de carga volumétrica, las cargas almacenadas en los distintos conductores forman una combinación lineal de los potenciales respectivos

siendo los UNIQ13fba552325c9233-math-0000001A-QINU los coeficientes de capacidad.

Estas relaciones pueden expresarse en forma matricial

siendo UNIQ13fba552325c9233-math-0000001C-QINU y UNIQ13fba552325c9233-math-0000001D-QINU dos vectores columna y UNIQ13fba552325c9233-math-0000001E-QINU una matriz cuadrada simétrica y definida positiva.

Los coeficientes de capacidad verifican

4.1 UNIQ13fba552325c9233-h-4--QINUCapacidad de un conductor

En el caso particular de un solo conductor, la expresión se reduce a

con UNIQ13fba552325c9233-math-00000023-QINU la capacidad del conductor, medida en faradios (F). Como caso particular, para una esfera de radio UNIQ13fba552325c9233-math-00000024-QINU

5 UNIQ13fba552325c9233-h-5--QINUCondensadores y circuitos equivalentes

5.1 UNIQ13fba552325c9233-h-6--QINUCapacidad de un condensador

Dos superficies conductoras están en influencia total si todas las líneas de campo que parten de una van a parar a la otra, para valores arbitrarios de los potenciales. En este caso, las superficies forman un \emph{condensador}. La carga almacenada en cada una cumple

siendo UNIQ13fba552325c9233-math-00000028-QINU la capacidad del condensador. Como casos particulares tenemos el condensador de placas planas y paralelas, el condensador cilíndrico coaxial de radios UNIQ13fba552325c9233-math-00000029-QINU y UNIQ13fba552325c9233-math-0000002A-QINU y el condensador esférico de radios UNIQ13fba552325c9233-math-0000002B-QINU y UNIQ13fba552325c9233-math-0000002C-QINU, con capacidades respectivas

Para otros sistemas deberá resolverse la ecuación de Laplace en el espacio entre las superficies, con las condiciones de que en una de ellas el potencial valga UNIQ13fba552325c9233-math-00000030-QINU y en la otra sea nulo, y calcular la carga en la placa a mayor tensión.

5.2 UNIQ13fba552325c9233-h-7--QINUCircuitos equivalentes

Todo sistema de UNIQ13fba552325c9233-math-00000031-QINU conductores en equilibrio puede modelarse por un circuito equivalente de UNIQ13fba552325c9233-math-00000032-QINU condensadores. Cada conductor es representado por un nodo del circuito. Entre cada dos nodos existe un condensador de capacidad

Este condensador estará ausente si los conductores UNIQ13fba552325c9233-math-00000035-QINU e UNIQ13fba552325c9233-math-00000036-QINU están apantallados por algún otro y no son conectados por ninguna línea de campo.

Además, para representar aquellas líneas de campo que pueden ir de cada conductor hasta el infinito, existen UNIQ13fba552325c9233-math-00000037-QINU condensadores adicionales, cada uno situado entre un nodo y tierra. La capacidad (autocapacidad) del condensador conectado al nodo UNIQ13fba552325c9233-math-00000038-QINU vale

Conocida la matriz de los coeficientes de capacidad pueden calcularse las UNIQ13fba552325c9233-math-0000003A-QINU capacidades y las UNIQ13fba552325c9233-math-0000003B-QINU autocapacidades, y viceversa.

Además de estos condensadores, habrá que incluir una fuente de tensión continua conectada a cada nodo cuyo potencial esté fijado. Si la cantidad fijada es la carga del conductor, debe suponerse conectada a un “generador de carga”, que simplemente expresaría que la carga total almacenada en todos los condensadores conectados a dicho nodo es un valor dado y no nula. Si el elemento está aislado y descargado (UNIQ13fba552325c9233-math-0000003C-QINU y potencial desconocido) este elemento puede suprimirse.

6 UNIQ13fba552325c9233-h-8--QINUMétodo de las imágenes

7 UNIQ13fba552325c9233-h-9--QINUMétodos numéricos

8 UNIQ13fba552325c9233-h-10--QINUEnergía de un sistema de conductores

Dado un sistema de $N$ conductores, sin carga entre ellos, la energía almacenada en el sistema puede expresarse como

Si además de los conductores tenemos cargas de volumen o puntuales en el espacio entre ellos, habrá que añadir los correspondientes términos

donde UNIQ13fba552325c9233-math-0000003F-QINU es el potencial total en cada punto y UNIQ13fba552325c9233-math-00000040-QINU es el potencial total exceptuando la contribución debida a la propia carga puntual.

9 UNIQ13fba552325c9233-h-11--QINUPresión sobre la superficie de los conductores

El cálculo de las fuerzas entre conductores puede realizarse a partir de la presión electrostática sobre ellos. Debido a la repulsión eléctrica, en cada punto de la superficie del conductor existe una presión dada por

siendo la fuerza elemental sobre cada punto de la superficie

esto es, siempre normal y hacia afuera del conductor.

10 UNIQ13fba552325c9233-h-12--QINUFuerzas entre conductores

11 UNIQ13fba552325c9233-h-13--QINUProblemas