Propiedades dinámicas de un sólido rígido

De Laplace

Revisión a fecha de 10:36 11 ene 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Masa
3 Cantidad de movimiento
4 Momento cinético
5 Momento de inercia
6 Energía cinética
7 Energía potencial

1 Introducción

A la hora de establecer las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido se debe, en primer lugar, definir qué magnitudes lo caracterizan, para poder escribir correctamente las ecuaciones de evolución.

2 Masa

En cinemática del sólido rígido no es necesario considerar la extensión real del sólido. Puede describirse el campo de velocidades suponiendo que se extiende a todos los puntos del espacio tanto interiores como exteriores al sólido, sin importar si en estos puntos existe una partícula material o no.

En dinámica, en cambio, sí es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen $V$ que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas $m i$ de forma que el sólido posee una masa total

$M = m_1+m_2+\cdots = \sum_i m_i$

Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen $d V$ existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa

$\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y

$M = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V = \rho_0\int_V\mathrm{d}V = \rho_0V$

Así para sólidos homogéneos de formas:

Prisma rectangular:

$M = \rho abc\,$

Cilindro

$M = \pi\rho R^2 h\,$

Esfera

$M = \frac{4\pi}{3}\rho R^3\,$

En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, $σ$ ,

$\mathrm{d}m = \sigma\,\mathrm{d}S\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_S \sigma(\vec{r})\,\mathrm{d}S$

que, para el caso de un sólido homogéneo nos da

$M = \sigma\,S$

Así, por ejemplo, para una hoja tamaño A4 de 80 g/m² su masa es

$M = \sigma b h = 80\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}(210\,\mathrm{mm})(297\,\mathrm{mm})\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}\right)^2 = 5.0\,\mathrm{g}$

Aplicando las fórmulas del área de una superficie cilíndrica o esférica obtenemos las masas

$M = 2\pi\sigma\,R\,h\quad\mbox{(cilindro)}\qquad\qquad M = 4\pi\sigma R^2\quad\mbox{(esfera)}$

Análogamente, existen sólidos que pueden suponerse lineales (como un alambre o varilla), en cuyo caso se define la densidad lineal de masa, $μ$

$\mathrm{d}m=\mu\,\mathrm{d}l\qquad\qquad M = \int_L \mu\,\mathrm{d}l$

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sólido es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots$

Por tratarse de un sólido, estas velocidades verifican el teorema de Chasles

$\vec{v}_i = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_i$

lo cual, al sustituir en la expresión de la cantidad de movimiento, nos da

$\vec{p}=\left(m_1+m_2+\cdots\right)\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(m_1\vec{r}_1+m\vec{r}_2+\cdots\right)$

El primero de los dos paréntesis es la masa total del sólido, mientras que el segundo nos da la posición del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(M\vec{r}_C\right)=M\left(\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_C\right)$

Por otro lado, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se relaciona con la velocidad del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_C$

Igualando ambas expresiones obtenemos la velocidad del centro de masas del sólido

$\vec{v}_C = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_C$

Esta igualdad simplemente nos dice que el centro de masas se mueve rígidamente con el sólido estando siempre en la misma posición relativa a éste (aunque el CM puede no coincidir con ninguna de las partículas del sólido, se mueve como una más de ellas).

4 Momento cinético

El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{L}_O=m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2 + \cdots$

Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas

$\vec{L}_O=M\vec{r}_C\times\vec{v}_C + \vec{L}'$

siendo

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2 + \cdots$

Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido,

$\vec{v}_i = \vec{v}_C + \vec{\omega}\times(\vec{r}_i-\vec{r}_C)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\,,}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}$

nos queda

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_1^{\,,})+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_2^{\,,}) + \cdots$

Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que solo consideraremos los casos más sencillos.

Supongamos una partícula $m 1$ que describe una circunferencia de radio $R 1$ en torno al CM con velocidad angular $\vec{\omega}$ . El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|\vec{L}'_1| = m_1|\vec{r}'_1||\vec{v}'_1| = m_1(R_1)(\omega R_1) = m_1R_1^2\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

$\vec{L}'_1 = m_1R_1^2\vec{\omega}$

Si ahora consideramos un sólido simétrico (como un disco, una esfera o un cilindro) que gira en torno un eje dado que pasa por el CM, cada uno de los puntos contribuye de manera análoga y el momento cinético total respecto al CM vale

$\vec{L}'=\left(m_1R_1^2+m_2R_2^2+\cdots\right)\vec{\omega}=I\vec{\omega}$

siendo $R i$ la distancia de cada punto al eje e $I$ una nueva magnitud conocida como momento de inercia (que se discute con más detalle más adelante).

Esta igualdad nos dice que el momento cinético de un sólido simétrico respecto a un eje que pasa por su CM es proporcional a la velocidad angular con la que gira, de manera análoga a cómo la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad del CM. La constante de proporcionalidad es el momento de inercia, que desempeña el papel de la masa en cuanto a medida de la inercia del sólido respecto a una rotación.

La igualdad anterior no siempre es cierta, ya que para una partícula el momento cinético respecto a un punto que no es el centro de la circunferencia que describe (aunque sea del eje de rotación) no será en general paralelo a la velocidad angular. Sólo para sólidos que tienen este eje como de simetría se cancelan las componentes no paralelas y resulta una situación de paralelismo entre $\vec{L}'$ y $\vec{\omega}$ .

5 Momento de inercia

Dado un sólido rígido, se define su momento de inercia respecto a un eje como la cantidad

$I = \sum_i m_1 R_i^2\,$

donde $R i$ es la distancia de una partícula $m 1$ al eje. En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

$I = \int_M \left(R(\vec{r})\right)^2\,\mathrm{d}m$

donde $R$ será en general diferente para cada elemento de masa $d m$ .

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momentos de inercia

$I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad I_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

Así por ejemplo, para una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$ , el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

$I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = MR^2$

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio $R$ y altura $h$ , su momento de inercia es igual a

$I_{zz}=\int_M r^2\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V$

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio $r$ y espesor $d r$ , cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

$\mathrm{d}V = S(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r$

Llevando esto al momento de inercia nos queda

$I_{zz} = \int_0^R \rho(r^2)(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}$

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2$

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que estos resultados no dependen de la altura del cilindro también son aplicables al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña) y de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

5.1 Teorema de Steiner

El momento de inercia puede definirse respecto a un eje arbitrario, que no necesariamente debe pasar por el centro de masas del sólido. No obstante, los ejes que pasan por el CM tienen propiedades particulares.

Consideremos dos ejes paralelos: uno que pasa por el CM y uno situado a una distancia $d$ del primero. Sea $I C$ el momento de inercia respecto al eje que pasa por el CM e $I$ el momento de inercia respecto al eje paralelo. Buscamos una relación entre estas dos cantidades.

Si consideramos el eje Z como el paralelo al que pasa por el Cm el momento de inercia se puede escribir

$I = m_1(x_1^2+y_1^2) + m_2(x_2^2+y_2^2)+\cdots$

Introduciendo las posiciones relativas al CM

$x_1 = x_C + x_1'\qquad y_1 = y_C + y_1'\qquad \cdots$

queda

$I = m_1(x_C^2+y_C^2) + 2(m_1x_Cx'_1 +m_1y_Cy'_1) + m_1({x'_1}^2 +{y'_1}^2)+\cdots$

Ahora bien, la posición del centro de masas relativa a sí mismo es nula, por lo que

$m_1 x'_1+m_2x'_2 + ... =0\qquad\qquad m_1y'_1+m_2y'_2 + ... =0$

Además se cumple

$x_C^2+y_C^2 = d^2\,$

con $d$ la distancia entre los ejes. Llevando esto a la expresión del momento de inercia queda

$I = (m_1+m_2+\cdots)d^2 + 0 + \left(m_1({x'_1}^2 +{y'_1}^2)+m_2({x'_2}^2 +{y'_2}^2)+\cdots\right) = Md^2 + I_C$

Este es el teorema de Steiner o de los ejes paralelos. Nos permite calcular el momento de inercia respecto a un eje arbitrario si conocemos el valor respecto a un eje paralelo que pase por el CM.

Este teorema nos dice que el momento de inercia en ejes paralelos es mínimo en el eje que pasa por el CM (lo cual sirve también como definición del centro de masas).

Por ejemplo, consideremos el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L alrededor de un eje que pasa por su centro y uno que pasa por su extremo.

En el primer caso tenemos

$I_C = \int_{-L/2}^{L/2}\frac{M}{L}x^2\,\mathrm{d}x = \frac{ML^2}{12}$

y en el segundo

$I= \int_{0}^{L}\frac{M}{L}x^2\,\mathrm{d}x = \frac{ML^2}{3}$

siendo la diferencia entre ambos

$I - I_C = \frac{ML^2}{3}-\frac{ML^2}{12}= \frac{ML^2}{4}=M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = Md^2$

5.2 Teorema de la figura plana

Una sólido puede considerarse plano cuando sus dimensiones en una determinada dirección son mucho más pequeñas que a lo largo de las normales a ella. Es el caso, por ejemplo, de una chapa metálica en forma de disco o el de una varilla.

Si consideramos que la coordenada $z$ es la que tiene espesor despreciable, podemos suponer que $z = 0$ para todos los puntos del sólido. Esto deja los tres momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas en

$I_{xx}=\int_M y^2\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_M x^2\,\mathrm{d}m \qquad\qquad I_{zz}=\int_M (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

de donde es inmediato que

$I_{zz} = I_{xx}+I_{yy}\,$

Esta relación permite calcular uno de los momentos de inercia conocidos los otros dos.

Por ejemplo, si deseamos hallar el momento de inercia de un disco circular respecto a un eje diametral podemos aplicar que, por simetría y por el teorema de la figura plana

$\left\{\begin{array}{rcl}I_{xx} &= & I_{yy} \\ && \\ I_{xx}+I_{yy} &= & I_{zz}=\displaystyle\frac{1}{2}MR^2\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad I_{xx}=I_{yy}=\frac{1}{4}MR^2$

5.3 Casos particulares

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse

Sólido	Eje	Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$MR^2\,$
Cilindro macizo de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}MR^2$
Varilla rectilínea de longitud $L$	Perpendicular por el centro	$\frac{1}{12}ML^2$
Paralelogramo de lados $b$ y $h$ (incluye cuadrados, rectángulos y rombos)	Perpendicular por el centro	$\frac{M(b^2+h^2)}{6}$
Cubo macizo de arista $a$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{Ma^2}{6}$
Esfera maciza de radio $a$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{5}$

6 Energía cinética

A la hora de hallar la energía cinética de un sólido rígido surgen problemas similares a los que aparecen con el momento cinético. De acuerdo con las propiedades de un sistema de partículas, se verifica

$K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 + K'$

donde la energía cinética, respecto al centro de masas, es igual a

$K' = \frac{1}{2}m_1 |\vec{v}^{\,,}_1|^2 + \frac{1}{2}m_2 |\vec{v}^{\,,}_2|^2 + \cdots$

Sustituyendo el campo de velocidades de un sólido

$K' = \frac{1}{2}m_1|\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_2|^2$

Desarrollando cada una de estas expresiones obtenemos

$\frac{1}{2}m_1|\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_1|^2 = \frac{1}{2}m_1(\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_1)\cdot(\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_1) = \frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}'_1$

Sustituyendo y sumando para todo el sólido queda la expresión breve

$K' = \frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}'$

En los casos de sólidos simétricos en que el momento cinético es proporcional a la velocidad angular y paralelo a ella, esta expresión se reduce a

$K' = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2$

siendo la energía cinética total

$K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 + \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2$

Vemos que la energía cinética del sólido se compone de una de traslación con el centro de masas sumada a una de rotación alrededor del centro de masas. El momento de inercia cumple el mismo papel en la rotación que la masa en la traslación, es decir, es una medida de la inercia del sólido a cambiar su estado de rotación.

7 Energía potencial

En un sistema de partículas libres, el concepto de energía potencial es difícil de definir, ya que debe tener en cuenta la energía debida a las interacciones entre las partículas del sistema (por ejemplo, la energía eléctrica debida a la presencia de partículas cargadas), y esta es dependiente de las posiciones relativas de las partículas.

En un sólido rígido, en cambio, al ser fijas las distancias entre partículas, la energía de interacción interna permanece constante y no interviene en la dinámica del sistema. Por ello, podemos restringirnos a usar la energía potencial debida a fuerzas externas (la causada por el campo gravitatorio, por un campo eléctrico aplicado, etc.).

La energía potencial total del sólido será la suma de las de las partículas que lo componen

$U = U_1(\vec{r}_1) + U_2(\vec{r}_2)+\ldots$

En el caso general, este cálculo puede ser extremadamente complicado y requerir información que no está disponible. Por ejemplo, para la energía potencial eléctrica no nos basta con saber la masa y forma del sólido: debemos conocer dónde se encuentran las cargas del sistema y cuánto vale cada una.

Un caso en el que sí se pueden hacer los cálculos correspondientes es el de la energía potencial debida al peso.

Suponiendo que la aceleración de la gravedad se expresa en la forma habitual

$\vec{g}=-g\vec{k}$

la energía potencial de cada una de las masas es de la forma $U i = m i g z i$ con la altura medida respecto a un nivel de referencia (el mismo para todas las partículas). Esto nos da una energía potencial total

$U = g(m_1z_1+m_2z_2+...) = Mgz_C\,$

esto es, equivale al que tendría una partícula con la masa total del sistema situada a la altura del centro de masas. Puesto que esto debe ser cierto sea cual sea la orientación del sólido (esto es, si giramos el sólido 90° se obtiene lo mismo pero con $x C$ o $y C$ ), se puede concretar más y decir que la energía potencial gravitatoria es la misma que tendría si toda la masa estuviera concentrada en la posición del centro de masas. Por esta razón al centro de masas se le denomina también centro de gravedad. Hay que destacar, no obstante, que esta relación deja de cumplirse si el campo gravitatorio depende de la posición (el centro de gravedad de la Luna no coincide con el centro de masas, ya que la atracción terrestre no es la misma en todos sus puntos).

Propiedades dinámicas de un sólido rígido

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1 Introducción

2 Masa

3 Cantidad de movimiento

4 Momento cinético

5 Momento de inercia

5.1 Teorema de Steiner

5.2 Teorema de la figura plana

5.3 Casos particulares

6 Energía cinética

7 Energía potencial

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