Cálculo de aceleración en una curva

De Laplace

Revisión a fecha de 09:45 19 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Rapidez
3 Componentes intrínsecas de la aceleración
- 3.1 Aceleración tangencial
- 3.2 Aceleración normal
4 Vector aceleración

1 Enunciado

Un coche entra en una curva de 90° y 100 m de radio a 80 km/h. Disminuye su rapidez uniformemente hasta salir de la curva a 50 km/h.

Determine su rapidez cuando ha recorrido 1/3 de la curva, la mitad y 2/3 de ella.
Halle su aceleración tangencial y su aceleración normal en los mismos puntos.
Exprese el vector aceleración en estos puntos en los ejes indicados en la figura

2 Rapidez

Como en el problema de la aceleración en una recta podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.

Se nos dice que

$\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}$

aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80 km/h a la entrada y 50 km/h a la salida). Por ello, necesitamos hallar la derivada respecto a la posición. Aplicando la regla de la cadena tenemos

$a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}s}\,\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

siendo $s$ la distancia medida a lo largo de la curva. Su derivada respecto al tiempo es la propia rapidez, por lo que

$a_t = |\vec{v}|\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}s}= \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{2}|\vec{v}|^2\right)$

Por tanto, lo que varía linealmente respecto a la posición no es la rapidez, sino su cuadrado. Podemos integrar aquí y escribir

$|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+2a_t s$

El valor de $a t$ lo obtenemos de que conocemos la rapidez en dos puntos, $s 0 = 0$ (comienzo de la curva) y $s 1 = π R / 2$ (final de la curva), por lo que

$|\vec{v}_1|^2 = |\vec{v}_0|^2 + 2a_t(s_1-s_0)\qquad\Rightarrow\qquad a_t = \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{2(s_1-s_0)}$

y el cuadrado de la rapidez en cada punto sigue la ecuación lineal

$|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+\frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{(s_1-s_0)}(s-s_0)$

A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera

$s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t$

El resultado se puede poner en función del ángulo girado $\varphi$ , aplicando que $s(\varphi)=R\varphi$

$|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+2\varphi \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{\pi}$

Sustituyendo los valores del enunciado queda

$|\vec{v}|^2 = \left(6400 + 2\varphi\frac{2500-6400}{\pi}\right)\frac{\mathrm{km}^2}{\mathrm{h}^2}= \left(6400 -\frac{7800}{\pi}\varphi\right)\frac{\mathrm{km}^2}{\mathrm{h}^2}$

y una vez que tenemos el cuadrado hallamos la rapidez en cada punto mediante la raíz cuadrada

$|\vec{v}|=\sqrt{6400 -\frac{7800}{\pi}\varphi}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla

$\varphi$	$\|\vec{v}\|^2 (\mathrm{km}^2/\mathrm{h}^2)$	$\|\vec{v}\| (\mathrm{km}/\mathrm{h})$
0	6400	80.0
π/6	5100	71.4
π/4	4450	66.7
π/3	3800	61.6
π/2	2500	50.0

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

3.1 Aceleración tangencial

La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión ya lo hemos calculado en el apartado anterior

$a_t = \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{2(s_1-s_0)}$

Sustituyendo los datos del enunciado

$a_t = \frac{(50\,\mathrm{km}/\mathrm{h})^2-(80\,\mathrm{km}/\mathrm{h})^2}{2\cdot(100\,\mathrm{m})(\pi/2)}\times\left(\frac{1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}}\right)^2 = -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.2 Aceleración normal

La aceleración normal, en cada punto de la curva, tiene la expresión

$a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}$

puesto que el radio de curvatura es constante y la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo

$a_n = \frac{|\vec{v}_0|^2}{R}+2\varphi\frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{\pi R}$

Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda

$a_n = \left(4.94-1.92\varphi\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Esto nos da la siguiente tabla de valores

$\varphi$	$a t (m / s 2)$	$a n (m / s 2)$
0	-0.958	4.94
π/6	-0.958	3.94
π/4	-0.958	3.43
π/3	-0.958	2.93
π/2	-0.958	1.93

4 Vector aceleración

Una vez que tenemos las componentes intrínsecas, construimos el vector aceleración como

$\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}$

Aquí $\vec{T}$ es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo $\varphi$ este unitario es igual a

$\vec{T}=-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}$

mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia

$\vec{N}=-\cos(\varphi)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}$

Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración

$\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\varphi)-a_n\cos(\varphi)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\varphi)-a_n\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)\vec{\jmath}$

Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado

$\varphi$	$\vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)$
0	$-4.93827\vec{\imath}-0.957877\vec{\jmath}$
π/6	$-2.92903\vec{\imath}-2.79714\vec{\jmath}$
π/4	$-1.75063\vec{\imath}-3.10527\vec{\jmath}$
π/3	$-0.636504\vec{\imath}-3.01821\vec{\jmath}$
π/2	$0.957877\vec{\imath}-1.92901\vec{\jmath}$