Tiro oblicuo (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 09:42 2 nov 2010; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v 0$ y un ángulo $α$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

2 Solución

2.1 Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje $O X$ sobre la horizontal y el eje $O Y$ vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es

$\vec{g} = -g\,\vec{\jmath}$

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es

$\mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} v_x = 0\\ \mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} v_z = 0 \end{array} \right.$

Integrando una vez resulta

$\vec{v}(t) = \left\{ \begin{array}{l} v_x = v_{x0}\\ v_y = v_{y0}-g t\\ v_z = v_{z0} \end{array} \right.$

La velocidad inicial es

$\vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)$

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es

$\vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)$

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0 \end{array} \right.$

Integrando obtenemos

$\vec{r}(t) = \left\{ \begin{array}{l} x = v_{x0}\,t\\ y = v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}gt^2\\ z = 0 \end{array} \right.$

Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se anula. Igualando a cero la velocidad $v y (t)$ obtenemos

$T_m = \dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}$

En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es decir, la aceleración es

$\vec{a} = a_N(T_m)\vec{N} = -g\vec{\jmath} = \dfrac{v^2}{R_{\kappa}}\vec{\jmath}.$

Por tanto el radio de curvatura es

$R_{\kappa} = \left|\dfrac{v^2}{a_N}\right| = \dfrac{v_{0x}^2}{g} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.$

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