Propulsión solar

De Laplace

Revisión a fecha de 12:31 21 feb 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Fundamentos
3 Colisiones relativistas
- 3.1 Entre dos partículas
  - 3.1.1 Colisión completamente inelástica
  - 3.1.2 Colisión perfectamente elástica
- 3.2 Entre una partícula y un fotón
  - 3.2.1 Absorción de un fotón
  - 3.2.2 Reflexión de un fotón
4 Barco de vela solar
- 4.1 Descripción del problema
5 Vela reflectante
6 Vela absorbente

1 Introducción

2 Fundamentos

2.1 Partículas y cuadrivectores

La cantidad de movimiento energía de una partícula puede describirse por el cuadrivector

$\mathbf{P}=p^\mu=(\mathbf{p},E)$

donde la parte espacial es la cantidad de movimiento ordinaria, y la parte temporal es la energía de la partícula.

Este vector es proporcional cuadrivector velocidad

$\mathbf{P}=m\mathbf{V}=m(\gamma\mathbf{v},\gamma)\qquad\qquad\gamma = \frac{1}{1-v^2}$

dado que la velocidad es un cuadrivector de módulo unidad, el módulo del cuadrivector cantidad de movimiento es el cuadrado de la masa en reposo de la partícula.

$\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2$

En este problema, en que todo ocurre en una sola dimensión, la parte espacial se reduce a una sola componente

$\mathbf{P}=p^\mu = (p,0,0,E)\,$

por lo que podemos prescindir de la segunda y la tercera y escribir simplemente

$\mathbf{P}=p^\mu = (p,E)\,$

con el módulo

$\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2-p^2 = m^2\,$

La cuadrivelocidad se reduce a

$\mathbf{V}=(\gamma\mathbf{v},\gamma)\,$

Introduciendo la celeridad $\phi\,$

$v=\tanh\phi\qquad\qquad \mathbf{V}=(\sinh\phi,\cosh\phi)$

2.2 Fotones

Los fotones individuales se pueden considerar como partículas de masa nula, por lo que el cuadrivector correspondiente será de la forma

$\mathbf{P}= (\mathbf{p},|\mathbf{p}|)\,$

que, en el caso unidimensional se reduce a

$\mathbf{P} = (p,|p|)\,$

De acuerdo con las relaciones de Einstein-de Broglie, la cantidad de movimiento y la energía de un fotón son proporcionales a su número de onda y a su frecuencia, respectivamente. En términos de los cuadrivectores

$\mathbf{P}= \hbar \mathbf{K}$ $\Rightarrow$ $(\mathbf{p},E) = \hbar(\mathbf{k},\omega)$

cumpliéndose la relación

$0 = \mathbf{K}\cdot\mathbf{K} = \omega^2 - |\mathbf{k}|^2\,$ $\Rightarrow$ $\omega = |\mathbf{k}|\,$

En el caso unidimensional, el cuadrivector número de onda será

$\mathbf{K} = (k,|k|)\,$

2.3 Transformaciones de Lorentz

Una transformación de Lorentz en la dirección del eje X es de la forma

$\mathbf{P}'=\mathsf{L}\cdot\mathbf{P}\qquad\qquad p'^\mu = L^\mu_\nu p^\nu$

con

$\mathsf{L}=L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & -\gamma v\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma v & 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix}$ $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$

Esta matriz se puede escribir de forma alternativa introduciendo la celeridad del movimiento relativo

$v = \tanh\phi\qquad \gamma = \cosh\phi\qquad\gamma v = \sinh\phi$ $L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\cosh\phi & 0 & 0 & -\sinh\phi\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\phi & 0 & 0 & \cosh\phi\end{pmatrix}$

Si consideramos un problema unidmensional, la matriz se reduce a una 2×2:

$L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\phi & -\sinh\phi\\ -\sinh\phi & \cosh\phi\end{pmatrix}$

La transformación de Lorentz inversa corresponde a cambiar $v$ por $- v$ (o $\phi\,$ por $-\phi\,$ ).

2.4 Efecto Doppler

Si aplicamos la transformación de Lorentz a un fotón, obtenemos que el cuadrivector número de onda se transforma en

$\begin{pmatrix}k' \\ k'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}k \\ k \end{pmatrix}$

esto es

$k' = \gamma k -\gamma v k = \frac{1-v}{\sqrt{1-v^2}}k = \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}k$

o, en términos de la celeridad

$k' = \mathrm{e}^{-\phi}k\,$

El número de onda, y por tanto la frecuencia, se ven reducidos al observar el mismo fotón en un sistema que se aleja con velocidad v respecto al primero. Este es el corrimiento al rojo. Por supuesto, si el fotón va en sentido contrario al nuevo observador, lo que se aprecia es un aumento de la frecuencia, un corrimiento hacia el violeta.

3 Colisiones relativistas

En una colisión relativista siempre se conserva la cantidad de movimiento-energía, por lo que la ecuación básica que determina el resultado de una colisión es

$\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}'_1+\mathbf{P}'_2\,$

3.1 Entre dos partículas

3.1.1 Colisión completamente inelástica

En una colisión inelástica las dos partículas se fusionan y forma una sola partícula que se moverá con la velocidad original del centro de masas. Matemáticamente

$\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}'\,$

Separando en componentes

$p_1+p_2 = p'\,$ $E_1+E_2=E'\,$

En una colisión inelástica, la masa de la partícula resultante no es igual a la suma de las incidentes. La nueva masa cumple

${m'}^2=\mathbf{P}'\cdot\mathbf{P}'= (\mathbf{P}_1+\mathbf{P})\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2)=m_1^2+m_2^2-2\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_2$

Introduciendo las celeridades

${m'}^2=m_1^2 + m_2^2 -2m_1m_2\cosh(\phi_1-\phi_2)$

En cuanto a la velocidad de la partícula resultante tenemos

$v'=\frac{p'}{E'}=\frac{p_1+p_2}{E_1+E_2}$

3.1.2 Colisión perfectamente elástica

En una colisión perfectamente elástica, las partículas salen despedidas conservando sus masas individuales, de forma que tenemos

$\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}'_1+\mathbf{P}'_2\,$ $\mathbf{P}'_1\cdot\mathbf{P}'_1=\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_1=m_1^2\,$ $\mathbf{P}'_2\cdot\mathbf{P}'_2=\mathbf{P}_2\cdot\mathbf{P}_2=m_2^2\,$

Esto conduce a las ecuaciones

$p_1+p_2=p'_1+p'_2\,$ $E_1+E_2 = E'_1+E'_2\,$ ${E'_1}^2-{p'_1}^2=E_1^2-p_1^2=m_1^2\,$ ${E'_1}^2-{p'_1}^2=E_1^2-p_1^2=m_1^2\,$

En términos de las celeridades

$m_1\sinh\phi_1+m_2\sinh\phi_2=m_1\sinh\phi'_1+m_2\sinh\phi'_2\,$ $m_1\cosh\phi_1+m_2\cosh\phi_2=m_1\cosh\phi'_1+m_2\cosh\phi'_2\,$

Para obtener el estado final, despejamos y hallamos el módulo en una de las ecuaciones

$m_2^2 = \mathbf{P}'_2\cdot\mathbf{P}'_2 = (\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2-\mathbf{P}'_1)\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2-\mathbf{P}'_1)=m_1^2+m_2^2+2\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_2-2\mathbf{P}'_1\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2)$

Despejando de aquí

$\mathbf{P}'_1\cdot(\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2)=\frac{m_1^2}{2}+\mathbf{P}_1\cdot\mathbf{P}_2$

3.2 Entre una partícula y un fotón

La colisión con un fotón puede tratarse como una colisión entre dos partículas, una de ellas de masa nula.

3.2.1 Absorción de un fotón

En una colisión inelástica el blanco se comporta como un cuerpo negro y absorbe un fotón, resultando una nueva partícula de mayor masa.

El balance es

$\mathbf{P}_\gamma+\mathbf{P}=\mathbf{P}'$ $\Rightarrow$ $\hbar k +p=p'$ $\hbar \omega +E=E'$

La nueva masa de la partícula cumple

m' 2 = E' 2 - p' 2

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1 Introducción

2 Fundamentos

2.1 Partículas y cuadrivectores

2.2 Fotones

2.3 Transformaciones de Lorentz

2.4 Efecto Doppler

3 Colisiones relativistas

3.1 Entre dos partículas

3.1.1 Colisión completamente inelástica

3.1.2 Colisión perfectamente elástica

3.2 Entre una partícula y un fotón

3.2.1 Absorción de un fotón

3.2.2 Reflexión de un fotón

4 Barco de vela solar

4.1 Descripción del problema

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