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Disco arrastrando una varilla

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Solución)
(→Solución)
Línea 16: Línea 16:
Los movimientos relativos de los sólidos &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;0&rdquo; respecto del sólido fijo &ldquo;1&rdquo; se corresponderán con sendas leyes horarias <math>\beta(t)</math> y <math>\varphi(t)</math> que describen cómo cambian en el tiempo dichos ángulos y, por tanto, cómo se mueven los triedros <math>\{\mathbf{i}_2\mathrm{,}\mathbf{j}_2\mathrm{,}\mathbf{k}_2\}</math> y <math>\{\mathbf{i}_0\mathrm{,}\mathbf{j}_0\mathrm{,}\mathbf{k}_0\}</math>, respecto del <math>\{\mathbf{i}_1\mathrm{,}\mathbf{j}_1\mathrm{,}\mathbf{k}_1\}</math>. Además, aplicando las fórmulas de Poisson podemos establecer la relación entre las derivadas de dichas leyes horarias y los vectores rotación instaneas de los movimientos {01} y {21}:
Los movimientos relativos de los sólidos &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;0&rdquo; respecto del sólido fijo &ldquo;1&rdquo; se corresponderán con sendas leyes horarias <math>\beta(t)</math> y <math>\varphi(t)</math> que describen cómo cambian en el tiempo dichos ángulos y, por tanto, cómo se mueven los triedros <math>\{\mathbf{i}_2\mathrm{,}\mathbf{j}_2\mathrm{,}\mathbf{k}_2\}</math> y <math>\{\mathbf{i}_0\mathrm{,}\mathbf{j}_0\mathrm{,}\mathbf{k}_0\}</math>, respecto del <math>\{\mathbf{i}_1\mathrm{,}\mathbf{j}_1\mathrm{,}\mathbf{k}_1\}</math>. Además, aplicando las fórmulas de Poisson podemos establecer la relación entre las derivadas de dichas leyes horarias y los vectores rotación instaneas de los movimientos {01} y {21}:
-
<center><math>\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_0}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\mathbf{0}\end{array}</math></center>
+
<center><math>\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_0}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\mathbf{\omega}_{01}\times\mathbf{k}_0=\mathbf{0}\end{array}</math></center>
===Determinación gráfica de los C.I.R.===
===Determinación gráfica de los C.I.R.===

Revisión de 01:05 3 feb 2010

1 Enunciado

(Primer Parcial, Enero 2010, P1)

En el sistema de la figura los tres sólidos realizan un movimiento plano cuando el disco de radio R (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre el sólido “1”. El centro del disco, C, se desplaza con una velocidad \mathbf{v}_C=v(t)\mathbf{i}_1. La barra de longitud 3R (sólido “2”) tiene su extremo C articulado en el centro del disco, mientras que se apoya en el borde O del sólido “1”.
  1. Determine gráficamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}.
  2. En el instante en que la distancia entre los puntos O y B es igual a R, la velocidad del punto C es \mathbf{v}_C=v_0\ \mathbf{i}_1. Calcule las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el punto C.
  3. Exprese el vector de posición del punto A en el sistema “1”, \mathbf{r}_{21}^A, en función de un ángulo β arbitrario.
  4. Si \dot{\beta}=-\Omega, con Ω constante y positiva, calcule \mathbf{v}_{21}^A(t) y \mathbf{a}_{21}^A(t) para todo instante de tiempo, en función de β, Ω y R.

2 Solución

Como paso previo a la solución de los distintos apartados procederemos a adoptar los sistemas de referencia equivalentes a los distintos sólidos rígidos del sistema bajo estudio. En la figura del enunciado se indican los ejes \displaystyle OX_1Y_1 asocidados al sólido “1”, respecto del cuál, el disco “0” y la varilla “2” realizan sendos movimientos planos {01} y {21}, que tienen como plano director al definido por aquellos ejes; es decir, la dirección normal a dicho plano esta definida por el eje OZ1. Tal como se muestra en la figura, resulta conveniente adoptar sistemas de referencia ligados a los sólidos móviles “0” y “2” cuyas direcciones CZ0 y AZ2 sean también perpendiculares a dicho plano director. Tomando como eje AX2 la dirección \overline{AC} definida por la varilla “2”, que forma un ángulo β con el eje OX1, y como eje CX0 una dirección arbitraria contenida en el disco “0”, se tendrá la siguiente relación entre los vectores de los triedros cartesianos asociados a cada uno de los sólidos:

\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{i}_2=\cos\beta\ \mathbf{i}_1+\mathrm{sen} \beta\ \mathbf{j}_1 \\ \displaystyle \mathbf{j}_2=-\mathrm{sen} \beta\ \mathbf{i}_1+\cos\beta\ \mathbf{j}_1\\ \displaystyle \mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1 \end{array}\qquad \qquad \qquad \qquad\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{i}_0=\cos\varphi\ \mathbf{i}_1-\mathrm{sen} \varphi\ \mathbf{j}_1 \\ \displaystyle \mathbf{j}_0=\mathrm{sen} \varphi\ \mathbf{i}_1+\cos\varphi\ \mathbf{j}_1\\ \displaystyle \mathbf{k}_0=\mathbf{k}_1 \end{array}

Los movimientos relativos de los sólidos “2” y “0” respecto del sólido fijo “1” se corresponderán con sendas leyes horarias β(t) y \varphi(t) que describen cómo cambian en el tiempo dichos ángulos y, por tanto, cómo se mueven los triedros \{\mathbf{i}_2\mathrm{,}\mathbf{j}_2\mathrm{,}\mathbf{k}_2\} y \{\mathbf{i}_0\mathrm{,}\mathbf{j}_0\mathrm{,}\mathbf{k}_0\}, respecto del \{\mathbf{i}_1\mathrm{,}\mathbf{j}_1\mathrm{,}\mathbf{k}_1\}. Además, aplicando las fórmulas de Poisson podemos establecer la relación entre las derivadas de dichas leyes horarias y los vectores rotación instaneas de los movimientos {01} y {21}:

\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_0}{\mathrm{d}t}\bigg|_1=\mathbf{\omega}_{01}\times\mathbf{k}_0=\mathbf{0}\end{array}


2.1 Determinación gráfica de los C.I.R.

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