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Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Momento dipolar)
(→Torque)
Línea 67: Línea 67:
==Torque==
==Torque==
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Podemos calcular el tensor de tensiones de Maxwell también en coordenadas elípticas
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<center><math>\mathbf{T}^e = \varepsilon\mathbf{E}\mathbf{E}-\frac{\varepsilon}{2}E^2\mathbf{I}</math></center>

Revisión de 20:41 12 ene 2010

Contenido

1 Planteamiento

Tenemos una elipse de semiejes a y b (a > b) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo α con el semieje mayor.

El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi = 0

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

\mathbf{n}\cdot\nabla\phi = 0\qquad(\mathbf{r}\in S)

y con el comportamiento asintótico

\phi\to -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\,

2 Coordenadas elípticas

Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por

x = c \cosh\xi\cos\eta\,        y = c \sinh\xi\sin\eta\,

con

c = \sqrt{a^2-b^2}

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

\xi=\xi_0=\,\mathrm{arctanh}\left(\frac{b}{a}\right)

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

h_\xi = h_\eta = h = \sqrt{\cosh^2\xi-\cos^2\eta}

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

\frac{\partial^2\phi}{\partial\xi^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial\eta^2}=0

con la condición de Neumann

\frac{\partial\phi}{\partial\xi}=0\qquad(\xi=\xi_0)\,

y con la condición de que en el infinito

\phi\to-E_0c(\cosh\xi\cos\eta\cos\alpha+\sinh\xi\sin\eta\sin\alpha)\,

3 Solución para el potencial

La solución se halla simplemente observando que la condición de que a grandes distancias

\cosh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}         \sinh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}

lo que nos permite sustituir el potencial en el infinito por

\phi\sim -\frac{E_0c\mathrm{e}^{\xi}}{2}\cos(\eta-\alpha)

y esta, que ya es de por sí una solución de la ecuación de Laplace, nos dice cual es la solución del problema completo (que en \xi = \xi_0\, tiene derivada nula). El potencial es

\phi= -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)\cos(\eta-\alpha)

mientras que la función corriente, que nos da las líneas de campo, es

\psi = -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\sinh(\xi-\xi_0)\sin(\eta-\alpha)

4 Momento dipolar

Para ver que esto equivale a un campo uniforme más un dipolo tenemos que demostrar que su comportamiento en puntos alejados va como

\phi \sim -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha) + \frac{Px+P_y y}{x^2+y^2}

5 Torque

Podemos calcular el tensor de tensiones de Maxwell también en coordenadas elípticas

\mathbf{T}^e = \varepsilon\mathbf{E}\mathbf{E}-\frac{\varepsilon}{2}E^2\mathbf{I}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Part%C3%ADcula_el%C3%ADptica_en_campo_el%C3%A9ctrico_oblicuo"

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