Esfera polarizada radialmente
De Laplace
(→Superficiales) |
(→Carga total) |
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| Línea 35: | Línea 35: | ||
===Carga total=== | ===Carga total=== | ||
| + | La carga total de polarización será la suma de la de volumen más la de superficie. Para la primera tenemos | ||
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| + | <center><math>Q_v = \int \rho_p\,\mathrm{d}\tau = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R \left(-\frac{2P_0}{r}\right)r^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrn{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=-4\pi R^2P_0</math></center> | ||
| + | |||
| + | y para la segunda | ||
| + | |||
| + | <center><math>Q_s = \int \sigma_p\,\mathrm{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi P_0R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrn{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=4\pi R^2P_0</math></center> | ||
| + | |||
| + | La carga total es siempre nula | ||
| + | |||
| + | <center><math>Q_T = Q_v + Q_s = -4\pi R^2 P_0+4\pi R^2 P_0 = 0\,</math></center> | ||
==Campos== | ==Campos== | ||
Revisión de 19:05 14 jun 2009
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polarización radial
- Calcule la distribución de cargas equivalente a esta polarización.
- Determine los campos
y 
en todo el espacio.
2 Cargas de polarización
2.1 De volumen
La densidad volumétrica de cargas equivalentes a la polarización del dieléctrico viene dada por la expresión
2.1.1 Exterior de la esfera
Fuera de la esfera la polarización es nula, por lo que no hay carga de polarización
2.1.2 Interior de la esfera
Dado que el módulo de la polarización es uniforme, parecería que en el interior también la carga se anula, pero no es así. La polarización posee módulo uniforme, pero su dirección y sentido dependen de la posición. La densidad de carga dentro es, empleando coordenadas esféricas,
Combinando los dos resultados queda
2.2 Superficiales
La densidad superficial de carga equivalente se encuentra en las superficies de discontinuidad. En este caso el único salto se da en la superficie esférica de radio R. En ella
![\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{0}-P_0\mathbf{u}_r\right)=P_0](/wiki/images/math/b/7/a/b7ac5bab647a942540acf4679d976177.png)
Esta densidad de carga es positiva, como corresponde a que desde el exterior veamos los extremos positivos de los dipolos que componen la esfera.
2.3 Carga total
La carga total de polarización será la suma de la de volumen más la de superficie. Para la primera tenemos
y para la segunda
La carga total es siempre nula
