Esfera polarizada radialmente

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Cargas de polarización
3 Campos
- 3.1 Desplazamiento eléctrico
- 3.2 Campo eléctrico
4 Aplicando la ley de Gauss

1 Enunciado

Se tiene una esfera de radio $R$ , centrada en el origen, compuesta de un material con una polarización radial

$\mathbf{P}=P_0\mathbf{u}_{r}$

Calcule la distribución de cargas equivalente a esta polarización.
Determine los campos $\mathbf{D}$ y $\mathbf{E}$ en todo el espacio.

2 Cargas de polarización

2.1 De volumen

La densidad volumétrica de cargas equivalentes a la polarización del dieléctrico viene dada por la expresión

$\rho_p=-\nabla\cdot\mathbf{P}\,$

2.1.1 Exterior de la esfera

Fuera de la esfera la polarización es nula, por lo que no hay carga de polarización

$\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}=-\nabla\cdot\mathbf{0}=0$

2.1.2 Interior de la esfera

Dado que el módulo de la polarización es uniforme, parecería que en el interior también la carga se anula, pero no es así. La polarización posee módulo uniforme, pero su dirección y sentido dependen de la posición. La densidad de carga dentro es, empleando coordenadas esféricas,

$\rho:p = -\nabla\cdot\mathbf{P}=-\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2P_0\right)=-\frac{2P_0}{r}$

Combinando los dos resultados queda

$\rho_p=\begin{cases}\displaystyle -\frac{2P_0}{r} & r< R \\ & \\ 0 & r>R\end{cases}$

2.2 Superficiales

La densidad superficial de carga equivalente se encuentra en las superficies de discontinuidad. En este caso el único salto se da en la superficie esférica de radio $R$ . En ella

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{0}-P_0\mathbf{u}_r\right)=P_0$

Esta densidad de carga es positiva, como corresponde a que desde el exterior veamos los extremos positivos de los dipolos que componen la esfera.

2.3 Carga total

La carga total de polarización será la suma de la de volumen más la de superficie. Para la primera tenemos

$Q_v = \int \rho_p\,\mathrm{d}\tau = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R \left(-\frac{2P_0}{r}\right)r^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=-4\pi R^2P_0$

y para la segunda

$Q_s = \int \sigma_p\,\mathrm{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi P_0R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=4\pi R^2P_0$

La carga total es siempre nula

$Q_T = Q_v + Q_s = -4\pi R^2 P_0+4\pi R^2 P_0 = 0\,$

3 Campos

3.1 Desplazamiento eléctrico

Para hallar el desplazamiento eléctrico, observamos que, por la simetría esférica del sistema, debe ser un campo central como ocurre en todos los casos en que las densidades de carga poseen simetría de revolución. Esto convierte al vector desplazamiento en un campo irrotacional

$\mathbf{D}=D(r)\mathbf{u}_r\,$ $\Rightarrow$ $\nabla\times\mathbf{D}=\mathbf{0}\qquad\mathbf{n}\times[\mathbf{D}]=\mathbf{0}$

Por otro lado, las fuentes escalares de $\mathbf{D}$ son las densidades de carga libre, que en este sistema están ausentes

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l=0$ $\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l=0$

Esto quiere decir que, para este caso, el desplazamiento eléctrico carece de fuentes escalares y vectoriales, tanto de superficie como de volumen. Puesto que además se anula en el infinito, esto quiere decir que este campo es idénticamente nulo

$\mathbf{D}=\mathbf{0}\qquad\forall\mathbf{r}$

3.2 Campo eléctrico

Una vez que tenemos el vector desplazamiento, el cálculo del campo eléctrico es inmediato, despejando de la definición de $\mathbf{D}$

$\mathbf{0}=\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{P}}{\varepsilon_0}=\begin{cases}\displaystyle -\frac{P_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_r & r < R \\ & \\ \mathbf{0} & r > R\end{cases}$

En el exterior de la esfera no se aprecia campo eléctrico, lo que se puede interpretar como que el campo de las cargas de polarización positivas se cancela con el de las negativas. En el interior de la esfera el campo va hacia adentro: desde las cargas positivas de la superficie a las negativas del interior.

4 Aplicando la ley de Gauss

El campo eléctrico también puede calcularse directamente, sin conocer previamente el vector desplazamiento. Para ello, podemos aprovechar el que las distribuciones de carga poseen simetría esférica

$\rho_p = \begin{cases}\displaystyle-\frac{2P_0}{r} & (r<R) \\ & \\ 0 & (r>R)\end{cases}\qquad\qquad\sigma_p = P_0\qquad (r=R)$

La simetría de la distribución hace que podamos suponer que el potencial eléctrico depende solo de la distancia al centro de la esfera y por tanto el campo eléctrico es central

$\phi=\phi(r)\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{E}=-\nabla\phi=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\mathbf{u}_r=E(r)\mathbf{u}_r$

Si aplicamos la ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica con la esfera dieléctrica el flujo del campo eléctrico es simplemente

$\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int E(r)\,\mathrm{d}S=4\pi r^2 E$

Este flujo es igual a la carga encerrada por la superficie, dividida por $\varepsilon_0$ . Tenemos dos regiones

En el interior de la esfera: Si $r < R$ la carga es la de volumen contenida por la superficie

$4\pi r^2 E = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{r<R}\rho_p\,\mathrm{d}\tau$

La carga encerrada es

$Q_\mathrm{int}\int_{r'<r}\rho_p\,\mathrm{d}\tau'=\int\left(-\frac{2P_0}{r'}\right)r'^2\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\Omega' = -8\pi P_0\int_0^r \frac{r'^2\,\mathrm{d}r'}{r'}=-4\pi P_0 r^2$

y el campo

$4\pi r^2 E = -\frac{4\pi P_0 r^2}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_r = -\frac{\mathbf{P}}{\varepsilon_0}$

En el exterior de la esfera: para $r > R$ debemos contar la carga contenida en el volumen como la almacenada en la superficie. En el volumen hay

$Q_\mathrm{v}\int_{r'<R}\rho_p\,\mathrm{d}\tau'=\int\left(-\frac{2P_0}{r'}\right)r'^2\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\Omega' = -8\pi P_0\int_0^R \frac{r'^2\,\mathrm{d}r'}{r'}=-4\pi P_0 R^2$

y en la superficie

$Q_s = \int\sigma_p\,\mathrm{d}S=4\pi R^2 P_0$

lo cual da una carga total nula y, por tanto, un campo nulo en el exterior

$Q_v+Q_s=0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\mathbf{0}\qquad(r>R)$

Combinado ambos resultados

$\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle -\frac{\mathbf{P}}{\varepsilon_0} & (r < R) \\ & \\ \mathbf{0} & (r>R)\end{cases}$

que es el resultado que obtuvimos antes a partir del vector desplazamiento.

Esfera polarizada radialmente

De Laplace

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1 Enunciado

2 Cargas de polarización

2.1 De volumen

2.1.1 Exterior de la esfera

2.1.2 Interior de la esfera

2.2 Superficiales

2.3 Carga total

3 Campos

3.1 Desplazamiento eléctrico

3.2 Campo eléctrico

4 Aplicando la ley de Gauss

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