Dieléctrico lineal

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:36 12 jun 2009

Contenido

1 Introducción. Relaciones constitutivas
2 Definición
- 2.1 Medio anisótropo
- 2.2 Medio isótropo
3 Modelo microscópico
4 Permitividad
- 4.1 Permitividad relativa
- 4.2 Permitividad absoluta
5 Efecto de un campo sobre un dieléctrico lineal
- 5.1 Partícula en un campo externo
- 5.2 Condensador lleno de dieléctrico
6 Conductores en presencia de medios lineales
- 6.1 Ejemplo. El condensador plano
7 Energía en un medio lineal
8 Presión en un dieléctrico
9 Dependencia temporal. Dispersión

1 Introducción. Relaciones constitutivas

Los medios dieléctricos se caracterizan por la presencia de dipolos, que contribuyen al campo eléctrico total. Estos dipolos se pueden modelar macroscópicamente mediante su densidad, la polarización $\mathbf{P}(\mathbf{r})$ .

Cuando la polarización es conocida, puede determinarse el campo eléctrico que produce, bien por integración directa, bien sustituyendo la polarización por densidades de carga equivalentes y aplicando las técnicas de cálculo de campos producidos por cargas eléctrica.

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones la polarización no es conocida a priori, ya que la aparición de dipolos se debe usualmente a la propia presencia del campo eléctrico. Por tanto, la polarización es tanto causa como efecto del campo eléctrico. Para hallar $\mathbf{E}$ debemos conocer $\mathbf{P}$ y para conocer $\mathbf{P}$ debemos hallar $\mathbf{E}$ .

Podemos escapar de este círculo vicioso estableciendo empíricamente (o mediante un modelo acertado) una relación constritutiva

$\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{E})\,$

que establezca cuánto vale la polarización para un cierto valor del campo total 8que incluye al de la propia polarización). Sustituyendo esta relación en las ecuaciones de la electrostática reducimos el sistema de ecuaciones a uno en el que aparece exclusivamente el campo eléctrico y que podrá ser resuelto con mayor o menor dificultad.

Esta relación constitutiva será dependiente de cada material concreto, y de sus propiedades fisicoquímicas. Podrá ser no-lineal (dependiente como una cierta potencia del campo, o mediante una función aun más complicada), incluir efectos de dispersión, de histéresis, etc.

Por ello, no es posible dar una solución general para la determinación del campo eléctrico en medios dieléctricos.

2 Definición

No obstante la posible generalidad de las relaciones constitutivas, se encuentra empíricamente que en la mayoría de los medios dieléctricos, cuando se aplica un campo electrostático de amplitud pequeña o moderada, la polarización resultante es simplemente proporcional al campo eléctrico

$\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}\,$

A un material que verifica esta relación constitutiva se le denomina dieléctrico lineal. La cantidad adimensional $χ e$ es la denominada susceptibilidad eléctrica.

La relación constitutiva de los dieléctricos lineales nos dice que en ausencia de campo eléctrico la polarización es nula y que a medida que va aumentando el campo aplicado, aumenta la polarización en forma proporcional.

2.1 Medio anisótropo

En su forma más general, la susceptibilidad es un tensor, representable por una matriz, de forma que la relación constitutiva se escribirá

$\begin{pmatrix}P_x\\P_y\\P_z\end{pmatrix}=\varepsilon_0\begin{pmatrix}\chi_{xx} & \chi_{xy} & \chi_{xz}\\ \chi_{xy} & \chi_{yy} & \chi_{yz} \\ \chi_{xz} & \chi_{yz} & \chi_{zz}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{pmatrix}$

Este tensor es simétrico, por lo que siempre se pueden elegir unos ejes ortogonales (denominados ejes principales), tales que la relación se convierta en una diagonal

$\begin{pmatrix}P_X\\P_Y\\P_Z\end{pmatrix}=\varepsilon_0\begin{pmatrix}\chi_1 & 0 & 0\\ 0 & \chi_2 & 0 \\ 0 & 0 & \chi_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_X\\E_Y\\E_Z\end{pmatrix}$

Un material en el que se verifica esta forma de la relación lineal se denomina medio anisótropo, ya que en ellos, para un campo aplicado de la misma magnitud, el valor de la polarización depende de la dirección en que se aplique. En un medio anisótropo, además, la dirección de la polarización no será en general paralela al campo eléctrico, salvo que éste se aplique según uno de los ejes principales.

Muy pocos materiales presentan comportamiento anisótropo. Sólo algunos materiales cristalinos exhiben este comportamiento, ya que en un cristal es natural establecer diferencias entre una dirección y otra. En un medio fluido (líquido o gas) o en uno policristalino las diferencias entre una direcciones y otras desaparecen, y el material se convierte en isótropo.

2.2 Medio isótropo

En un medio isótropo, como son la mayoría, la constante de proporcionalidad es independiente de la dirección del campo eléctrico. En este caso, el tensor se reduce a un múltiplo de la matriz unidad, y la susceptibilidad se convierte en una cantidad escalar

$\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$

Para campos electrostáticos, la susceptibilidad es siempre una cantidad positiva. Esto quiere decir que los dipolos que aparecen en el material, bien por inducción, bien por rotación de los ya existentes, se colocan en la dirección y sentido del campo aplicado.

3 Modelo microscópico

4 Permitividad

La relación constitutiva de un medio lineal se puede sustituir en la definición del vector desplazamiento

$\mathbf{D}\equiv\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$

y resulta una nueva relación de proporcionalidad

$\mathbf{D}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r \mathbf{E}=\varepsilon \mathbf{E}$

que establece que el desplazamiento eléctrico es proporcional al campo eléctrico. En esta relación aparecen dos nuevas cantidades, ambas denominadas permitividad o constante dieléctrica.

4.1 Permitividad relativa

Se define la permitividad relativa como

$\varepsilon_r = 1 + \chi_e$

En un medio anisótropo, es un tensor adimensional que da la proporcionalidad entre el desplazamiento y el campo.

En un medio isótropo es un escalar adimensional siempre mayor que la unidad (puesto que la susceptibilidad es siempre positiva)

$\chi_e>0\,$ $\Rightarrow$ $\varepsilon_r = 1 + \chi_e > 1$

Los valores típicos de la permitividad relativa varían desde cantidades muy próximas a la unidad, como en el caso de los gases nobles a valores mucho más grandes (caso de los plásticos o del agua):

Permitividad relativa
Material	$\varepsilon_r$	Material	$\varepsilon_r$
Agua	81	Aire	1.00054
Cuarzo	5.0	Argón	1.0052
Goma	3.0−4.0	Helio	1.000065
Mica	4.5−8.0	Neón	1.000123
Metacrilato	2.6−3.5	Oxígeno	1.00050

Hay que señalar que el agua no es en absoluto un dieléctrico ideal, por lo que el estudio de los campos en agua requiere necesariamente incluir los efectos de su conductividad.

La tabla anterior se refiere a la permitividad electrostática. Cuando tenemos campos variables en el tiempo (como una onda electromagnética que atraviesa un dieléctrico), la permitividad tiene un valor diferente, dependiente de la frecuencia del campo aplicado. A este efecto de dependencia con la frecuencia se denomina dispersión. Así, por ejemplo, para el agua, en el espectro visible, la permitividad relativa es 1.88, muy lejos del 81 estático.

4.2 Permitividad absoluta

La permitividad absoluta de un medio se define como

$\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r = \varepsilon_0(1+\chi_e)$

o, equivalentemente, la permitividad relativa es la proporción entre la absoluta y la permitividad del vacío

$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$

De nuevo, en un medio anisótropo la permitividad absoluta es un tensor y en uno isótropo es una magnitud escalar. A diferencia de la relativa la permitividad absoluta es una cantidad dimensional. Se mide en las unidades que la permitividad del vacío, que en el sistema internacional son F/m.

La permitividad absoluta de una sustancia será siempre mayor que la del vacío, debido al signo de la susceptibilidad. Esto implica que la capacidad de un condensador relleno de dieléctrico es siempre mayor que la del mismo dieléctrico en vacío.

Normalmente, tanto a la permitividad absoluta como a la relativa se les suele quitar el “apellido” y se las denomina simplemente permitividad, a secas. La diferencia entre una y otra la da el contexto: la absoluta posee unidades, mientras que la relativa no, y en el sistema internacional la permitividad absoluta es siempre un número mucho menor que la unidad, mientras que la relativa es siempre mayor que 1. Así para el agua la permitividad relativa es 81 y la absoluta es 7×10^-10F/m.

5 Efecto de un campo sobre un dieléctrico lineal

5.1 Partícula en un campo externo

Artículo completo: Esfera dieléctrica en un campo externo

Supongamos una partícula, por simplicidad esférica, situada en un campo eléctrico externo $\mathbf{E}_0$ . Si la partícula es pequeña podemos suponer que el campo externo no varía mucho en el entorno de la partícula y puede suponerse aproximadamente uniforme.

El efecto del campo aplicado es polarizar la partícula. El campo aplicado produce una polarización de la partícula, proporcional al campo y en su misma dirección y sentido

$\mathbf{P}_1=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}_0$

Ahora bien, esa polarización produce su propio campo. Al situarse los dipolos según el campo aplicado, aparece una densidad de carga de polarización positiva en el sentido en que apunta el campo y negativa en el opuesto. Esta carga de polarización genera un campo en el sentido opuesto al aplicado, si bien será menor en magnitud en la mayoría de los casos (a diferencia de lo que ocurre en una esfera conductora, que el campo debido a las porpias cargas anula al campo externo).

Si el campo aplicado es uniforme, la polarización también lo es. El campo debido a una esfera polarizada uniformemente es conocido:

$\mathbf{E}_1=-\frac{\mathbf{P}_1}{3\varepsilon_0}=-\frac{\chi_e}{3}\mathbf{E}_0$

En un dieléctrico lineal la polarización es proporcional al campo total, no solamente al aplicado, por lo que hay que calcular la polarización debida a este campo $\mathbf{E}_1$ , que producirá un campo $\mathbf{E}_2$ , etc. Sumando todas las contribuciones resulta el campo total en el interior de la esfera

$\mathbf{E}=\frac{3}{3+\chi_e}\mathbf{E}_0$

Puesto que $χ e > 0$ , el campo en el interior de la esfera es menor en magnitud que el campo aplicado, aunque en su misma dirección y sentido. La partícula adquiere un momento dipolar total

$\mathbf{p} = \int \mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau = \alpha\mathbf{E}_0$ $\alpha\equiv\frac{3\varepsilon_0\chi_e\tau}{3+\chi_e}$

que también va en la dirección y sentido del campo aplicado y es proporcional a él.

No es ese el único efecto de un dieléctrico lineal en un campo externo. Supongamos que el campo aplicado no es uniforme, sino que se debe, por ejemplo, a una carga puntual externa. El campo de esta carga polariza la partícula de forma que aparecen cargas de polarización de signo opuesto en el lado más próximo a la carga exterior, y del mismo signo en el lado más alejado. Pero, precisamente por estar más cerca, la fuerza de atracción sobre las cargas de signo opuesto es mayor que la de repulsión sobre las del mismo signo. Como resultado, la partícula dieléctrica (que tiene carga neta nula, y que tampoco tiene cargas libres) se ve atraída hacia la carga.

Éste es el fundamento del sencillo experimento por el cual un bolígrafo cargado por frotamiento puede atraer pequeños trzos de papel, que están descargados. es la fuerza sobre las cargas de polarización la que los mueve.

Podemos expresar este resultado matemáticamente. la fuerza sobre el dipolo inducido en la partícula es

$\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}=\alpha(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E}$

Operando en esta expresión, con ayuda del cálculo vectorial y de que el campo eléctrico es irrotacional, esta fuerza puede escribirse como

$\mathbf{F}=\nabla\left(\frac{\alpha}{2}|\mathbf{E}|^2\right)$

Esto quiere decir que la fuerza apunta en la dirección en la que aumenta el módulo del campo eléctrico, es decir, que una partícula de un dieléctrico lineal tiende a moverse en el sentido en que aumenta la intensidad del campo. En el caso de una carga puntual esto quiere decir hacia la carga, independientemente del signo de ésta.

5.2 Condensador lleno de dieléctrico

Un efecto similar de reducción del campo lo tenemos en un condensador en el que se introduce un dieléctrico.

Supongamos, por simplificar, un condensador de placas planas y paralelas de sección $S$ y separadas una distancia $a$ , entre las cuales hay vacío. Cuando se aplica una cierta diferencia de potencial entre las placas, se crea un campo entre ellas que es aproximadamente uniforme

$\mathbf{E}=E_o\mathbf{u}_z$ $\Rightarrow$ $\Delta V_0 = \int_0^a\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=E_0a$

y en las placas conductoras se almacenan cargas $\pm Q$ , distribuidas con densidad uniforme $\pm\sigma_l$

$Q=\varepsilon_0 S E_0\,$ $\sigma_l=\varepsilon_0E_0\,$

Supongamos ahora que todo el espacio entre las placas se llena de un dieléctrico lineal de permitividad $\varepsilon$ . Este dieléctrico se polariza debido a la acción del campo aplicado, con una polarización aproximadamente uniforme

$\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e \mathbf{E}=(\varepsilon-\varepsilon_0)\mathbf{E}\,$

Esta polarización equivale a una densidad superficial de cargas de polarización, que serán positivas junto a la placa cargada negativamente y negativas junto a la placa cargada con signo positivo. Operando obtenemos

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\frac{\varepsilon-\varepsilon_0}{\varepsilon}\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = -\frac{\varepsilon-\varepsilon_0}{\varepsilon}\sigma_l$

Estas cargas de polarización neutralizan parcialmente a las cargas libres situadas en las placas.

Tenemos ahora dos posibilidades de comparación con el condensador en vacío:

Carga constante: Si las placas conductoras están aisladas, la carga libre almacenada en ellas permanece constante, ya que no puede salir al exterior, ni atravesar el dieléctrico si éste es ideal. Por ello, el efecto del dieléctrico es neutralizar parcialmente esta carga libre, ya que la densidad total de carga en la interfaz es

$\sigma_s = \sigma_l+\sigma_p = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\sigma_l$

y el campo en el medio y la diferencia de potencial se ven reducidos en la misma proporción:

$\mathbf{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\mathbf{E}_0$ $\Rightarrow$ $\Delta V = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\Delta V_0< \Delta V_0$

Potencial constante: Si se mantienen las placas conectadas a una fuente de tensión, la diferencia de potencial entre ellas se mantinene constante, y el campo eléctrico es el mismo que si no hubiera dieléctrico. La densidad de carga total (libre más polarización) permanece también constante (pues su valor lo da el salto en el campo eléctrico). Dado que la carga libre está siendo parcialmente neutralizada por la de polarización, el que su suma pemanezca constante quiere decir que el valor de la carga libre ha aumentado respecto a su valor sin dieléctrico. Lo mismo ocurre con la carga libre total de cada placa

$\sigma_l = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\varepsilon \mathbf{n}\cdot \mathbf{E}= \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\sigma_{l0}$ $\Rightarrow$ $Q_l = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}Q_0 > Q_0$ </math>

Estos dos procesos ilustran el mismo fenómeno: si definimos la capacidad del condensador con dieléctrico como el cociente entre la carga libre y la diferencia de potencial, esta capacidad es mayor que en vacío

$C = \frac{Q_l}{\Delta V} = \frac{\varepsilon S}{a}> \frac{\varepsilon_0 S}{a}=C_0$

Cabe preguntarse por qué se define la capacidad empleando la carga libre y no la carga total. La razón es eminentemente práctica. Es la carga libre la que llega por los cables a las placas, la que puede ser medida con ayuda de un amperímetro y un integrador, y la que puede ser extraída en un proceso de descarga.

Por tanto, la conclusión es que la capacidad de un condensador aumenta al rellenarlo con dieléctrico. No es ésta la única razón por la que los condensadores reales se fabrican con un dieléctrico entre las placas. Este dieléctrico sirve además como aislante, impidiendo que las placas se toquen físicamente, y además aumenta el campo de ruptura, aumentando el valor máximo de la tensión que puede soportar.

6 Conductores en presencia de medios lineales

Cuando tenemos un conjunto de conductores inmersos en medios dieléctricos lineales e ideales, la distribución de campos posee muchas semejanzas con la del vacío.

En la mayoría de los casos, en el interior de un dieléctrico ideal no existen densidades de carga libre, ya que no han podido llegar hasta el interior, por no ser éste conductor. Por tanto, el vector desplazamiento es un campo solenoidal

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l = 0\,$

Sustituyendo la relación constitutiva y el que el campo deriva del potencial escalar obtenemos la ecuación

$\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)=0$

Esta no es la ecuación de Laplace, ya que la permitividad será una función de la posición, en general, y no puede salir de la derivada.

Si tenemos un medio homogéneo (o, al menos, homogéneo a trozos, esto es, que la permitividad es uniforme por regiones, por ejemplo, en un condensador tipo sandwich, con capas de dieléctrico), la ecuación sí se reduce a la de Laplace

$\varepsilon = \mathrm{cte}$ $\Rightarrow$ $\nabla^2\phi=0$

Las condiciones de contorno para este problema son:

El potencial está fijado sobre la superficie de los conductores

$\phi = V_i\qquad\qquad\mathbf{r}\in S_i$

En las fronteras entre regiones la componente tangencial del campo eléctrico es continua

$\nabla\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}$

Esta condición implica que el potencial es una función continua.

En las fronteras entre regiones el salto en el vector desplazamiento es igual a la densidad superficial de carga libre,

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l$

A diferencia de lo que ocurre con las densidades volumétricas, no es raro que haya densidades superficiales de carga libre en las superficies de los dieléctricos. Existen diferentes mecanismos por los que puede depositarse carga en la superficie (por ejemplo, por fricción entre dieléctricos) y una vez almacenada permanece en esta superficie por la imposibilidad de fluir por el interior. Si se sabe que esta densidad es nula, la condición se reduce a la continuidad de la componente normal del vector desplazamiento.

$\sigma_l = 0\,$ $\Rightarrow$ $D_{1n}=D_{2n}\,$ $\Rightarrow$ $\varepsilon_1E_{n1}=\varepsilon_2 E_{n2}\,$

6.1 Ejemplo. El condensador plano

7 Energía en un medio lineal

8 Presión en un dieléctrico

9 Dependencia temporal. Dispersión

@@ Línea 193: / Línea 193: @@
 <center><math>\mathbf{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\mathbf{E}_0</math>{{tose}}<math>\Delta V = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\Delta V_0< \Delta V_0</math></center>
+<center>[[Imagen:condensador-sin-dielectrico.png]]{{qquad}}[[Imagen:condensador-con-dielectrico.png]]</center>
 ;Potencial constante: Si se mantienen las placas conectadas a una fuente de tensión, la diferencia de potencial entre ellas se mantinene constante, y el campo eléctrico es el mismo que si no hubiera dieléctrico. La densidad de carga total (libre más polarización) permanece también constante (pues su valor lo da el salto en el campo eléctrico). Dado que la carga libre está siendo parcialmente neutralizada por la de polarización, el que su suma pemanezca constante quiere decir que el valor de la carga libre ha aumentado respecto a su valor sin dieléctrico. Lo mismo ocurre con la carga libre total de cada placa
-<center><math><math>\sigma_l = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\varepsilon \mathbf{n}\cdot \mathbf{E}= \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\sigma_{l0}</math>{{tose}}<math>Q_l = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}Q_0 > Q_0</math></math></center>
+<center><math>\sigma_l = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\varepsilon \mathbf{n}\cdot \mathbf{E}= \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\sigma_{l0}</math>{{tose}}<math>Q_l = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}Q_0 > Q_0</math></math></center>
 Estos dos procesos ilustran el mismo fenómeno: si definimos la capacidad del condensador con dieléctrico como el cociente entre la carga libre y la diferencia de potencial, esta capacidad es mayor que en vacío

Dieléctrico lineal

De Laplace

Revisión de 22:36 12 jun 2009

Contenido

1 Introducción. Relaciones constitutivas

2 Definición

2.1 Medio anisótropo

2.2 Medio isótropo

3 Modelo microscópico

4 Permitividad

4.1 Permitividad relativa

4.2 Permitividad absoluta

5 Efecto de un campo sobre un dieléctrico lineal

5.1 Partícula en un campo externo

5.2 Condensador lleno de dieléctrico

6 Conductores en presencia de medios lineales

6.1 Ejemplo. El condensador plano

7 Energía en un medio lineal

8 Presión en un dieléctrico

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