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Máximo aprovechamiento del calor

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Variación total)
(→Relación con la entropía)
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==Relación con la entropía==
==Relación con la entropía==
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Es inmediato comprobar que el trabajo perdido es igual al incremento de entropía multiplicado por la temperatura ambiente
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<center><math>W = T_0\Delta S_u\,</math></center>
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Por tanto, vemos que existe una asociación directa entre la producción de entropía y el trabajo aprovechable que podríamos haber sacado del sistema.
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==Calor extra aprovechable==
==Calor extra aprovechable==
[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica]]
[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica]]

Revisión de 19:26 14 may 2009

Contenido

1 Enunciado

Suponga que se tiene un bloque de 10 kg de hierro (c_p=0.46\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}) a una temperatura de 200°C y se quiere usar para caldear una gran habitación a una temperatura T_0 = 22^\circ\mathrm{C}, estando el exterior a 5°C.

  1. Si se coloca el bloque directamente en la habitación, calcule el calor que libera al ambiente.
  2. Halle la variación de entropía del bloque y del universo en el caso anterior.
  3. El calor del bloque puede aprovecharse para producir algún trabajo. Para ello, suponga que cuando el bloque se encuentra a una temperatura T, y libera una cantidad de calor mc_p\,\mathrm{d}T, dicho calor se hace pasar por una máquina reversible que opera entre la temperatura T y la del ambiente. Calcule el trabajo obtenible en este paso y la cantitad total de trabajo que se podría obtener.
  4. Compruebe que el trabajo perdido es igual a T0ΔSu
  5. Si ese trabajo se aprovechara para hacer funcionar una bomba de calor reversible que operara entre el exterior y la habitación, ¿cuánto sería el calor total que se liberaría en la habitación?

2 Calor liberado directamente

Si calentamos la habitación simplemente depositando el bloque en la habitación, la cantidad de calor que libera es la correspondiente al descenso de temperatura desde su valor inicial, que llamaremos T1 a T0, la temperatura de la habitación (que, por ser de gran tamaño supondremos un baño térmico). Este calor es

Q_1 =m C_p(T_1-T_0) = 818.8\,\mathrm{kJ}

3 Variación de entropía

Existen dos cambios en la entropía, uno en el bloque de hierro, que al enfriarse ve reducida su entropía, y otro en la habitación que al recibir calor la ve incrementada.

3.1 Variación en el ambiente

La habitación recibe calor a una temperatura constante T0, por lo que su aumento de entropía es simplemente

\Delta S_\mathrm{amb} = \frac{Q_1}{T_0} = \frac{818.8\,\mathrm{kJ}}{295\,\mathrm{K}} = 2.78\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}

3.2 Variación en el bloque

La variación para el bloque la calculamos suponiendo un proceso reversible, consistente en que su temperatura va bajando gradualmente, siendo uniforme en el bloque en todo momento. En ese caso

\mathrm{d}Q_R = m c_p\,\mathrm{d}T    \Rightarrow    \Delta S_\mathrm{sis} = \int_{T_1}^{T_0}\frac{mc_p\mathrm{d}T}{T}= mc_p\ln\left(\frac{T_0}{T_1}\right)

siendo su valor numérico

\Delta S_\mathrm{sis}=mc_p\ln\left(\frac{T_0}{T_1}\right) = -2.17\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}

3.3 Variación total

Sumando los dos incrementos

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis} + \Delta S_\mathrm{amb}= mc_p\left(\frac{T_1-T_0}{T_0}-\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\right)\right) = 604\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

La variación neta es positiva, como corresponde a un proceso posible e irreversible.

4 Trabajo perdido

Parecería que colocar el bloque en la habitación es la forma más eficiente de calentar ésta, ya que todo el calor saliente va a parar a ella. Sin embargo, no lo es. Desde el mismo momento que hay producción de entropía y el proceso es irreversible, es claro que debe haber algún proceso más eficiente que sea reversible.

La causa de la irreversibilidad es la diferencia finita de temperaturas. El calor se derrama por la habitación como el agua que cae por una cascada. Pero al igual que en la cascada se puede colocar una central hidroeléctrica, entre la salida de calor del bloque y su llegada a la habitación se podría poner una máquina térmica reversible que aprovechara parte del calor para producir trabajo útil.

En un momento dado el bloque se encontrará a una temperatura T y cederá reversiblemente un calor − mcpdT (el signo porque la temperatura disminuye, dT es negativo, pero el calor cedido es positivo respecto de la máquina). Con ese calor la máquina hará un trabajo también diferencial

\mathrm{d}W =\eta_\mathrm{max}\,\mathrm{d}Q=-\left(1-\frac{T_0}{T}\right)mc_p\,\mathrm{d}T

Integrando obtenemos el trabajo perdido, que podríamos haber aprovechado con esta máquina térmica

W = -mc_p\int_{T_1}^{T_0}\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T = mc_p\left(T_1-T_0-T_0\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\right)\right) = 178.1\,\mathrm{kJ}

esto es, podríamos haber aprovechado el 21% del calor cedido.

5 Relación con la entropía

Es inmediato comprobar que el trabajo perdido es igual al incremento de entropía multiplicado por la temperatura ambiente

W = T_0\Delta S_u\,

Por tanto, vemos que existe una asociación directa entre la producción de entropía y el trabajo aprovechable que podríamos haber sacado del sistema.

6 Calor extra aprovechable

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/M%C3%A1ximo_aprovechamiento_del_calor"

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