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Dipolo magnético

De Laplace

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(→Demostración)
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lo que nos deja con
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<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2r^2\mathbf{m}-3\frac{\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})}{r^5}</math></center>
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<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2r^2\mathbf{m}-3\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})}{r^5}</math></center>
Desarrollando el doble producto vectorial se llega finalmente a la expresión del campo magnético.
Desarrollando el doble producto vectorial se llega finalmente a la expresión del campo magnético.

Revisión de 16:27 1 abr 2009

Contenido

1 Desarrollo multipolar magnético

Supongamos que tenemos una distribución de corriente estacionaria que ocupa una pequeña región del espacio y queremos hallar el campo en puntos alejados.

Cuando se dice “una pequeña región del espacio” se entiende que comparada con la distancia al punto de observación. Matemáticamente:

\delta=\frac{\mathrm{max}(|\mathbf{r}'|)}{r}\ll 1

Como con el campo eléctrico, la idea del desarrollo multipolar es hacer un cálculo aproximado, más sencillo que la integral exacta (la cual puede ser imposible de calcular) mediante el empleo de una serie de Taylor. Partimos de la expresión del potencial vector para el caso de una espira

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}

Aplicando el desarrollo del binomio de Newton

\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\mathrm{O}(\delta^2)

resulta (de forma no trivial) la expresión aproximada para el potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}

donde

\mathbf{m}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{r}'

es el denominado momento magnético dipolar de la espira.

A una distribución de corriente que produce este potencial vector (y el campo magnético resultante) se le denomina dipolo magnético. Podemos imaginar un dipolo magnético como una pequeña espira de corriente, si bien el concepto es más general:

  • Una distribución de corriente de volumen confinada a una pequeña región del espacio también produce el campo de un dipolo magnético, siendo su momento dipolar
\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'
En particular, este resultado incluye el caso de una distribución de carga en rotación.
  • Lo mismo ocurre para una distribución de corriente superficial
\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'
  • La partículas elementales (electrones, protones,…) producen un campo magnético dipolar, en el que el momento magnético es proporcional al llamado espín de la partícula. Este momento dipolar no está asociado a ninguna corriente “clásica”, pero su comportamiento es análogo.

1.1 Demostración detallada

La obtención de la expresión aproximada del potencial vector no es elemental.

Para empezar hay que justificar el desarrollo de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|. Para ello observamos que se puede escribir como

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}=\left(r^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'+r^{'2}\right)^{-1/2}

y sacando factor común un r2 de la raíz

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=(r^2)^{-1/2}\left(1-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2}

Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues r'\ll r). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si x\ll 1

(1+x)^n = 1 + n x + \mathrm{O}(x^2)\,

Aplicando esto al resultado anterior

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)+\mathrm{O}(\delta^2)\right)

pero de hecho, el segundo de los dos sumandos del paréntesis también es de orden δ2, por lo que podemos despreciarlo y reducir el desarrollo a

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\mathrm{O}(\delta^2)\right)= \frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots

El segundo paso es sustituir esto en la expresión del potencial vector. Nos queda

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r}+\oint\frac{(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots\right)

Estas integrales son sobre la variable \mathbf{r}', así que \mathbf{r} es una constante en ellas y puede ser extraído en la medida de lo posible

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{1}{r}\oint\mathrm{d}\mathbf{r}'+\frac{1}{r^3}\oint(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'+\cdots\right)

La primera de estas dos integrales es el desplazamiento neto al recorrer una curva cerrada, por lo que se anula identicamente,

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'=\left.\mathbf{r}'\right|_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_0}=\mathbf{0}

Lo que nos dice este resultado, de nuevo, es que el campo magnético de corrientes estacionarias, no posee término monopolar, esto es, que el campo de corrientes no equivale al campo de cargas magnéticas (monopolos).

El segundo término no se puede integrar de forma inmediata. Para conseguir extraer \mathbf{r} de la integral podemos usar el teorema vectorial, generalización del teorema de Stokes

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}' \phi = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

que, en nuestro caso da

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')

pero, como se puede demostrar

\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}')=\mathbf{r}

por lo que la integral se convierte en

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\mathbf{r}=\mathbf{S}\times\mathbf{r}

y, aplicación la expresión del vector superficie

\mathbf{S}=\frac{1}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'

nos queda finalmente

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathrm{m}\times\mathbf{r}}{r^3}+\cdots        \mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'

La extensión al caso de una distribución de corriente volumétrica o superficial requiere aun más cálculo vectorial, por lo que nos limitaremos a señalar que puede obtenerse siguiento las reglas usuales de transformación

\int_\Gamma(\ldots)I\mathrm{d}\mathbf{r}'\to \int_S(\ldots)\mathbf{K}\mathrm{d}S'\to\int_\tau(\ldots)\mathbf{J}\mathrm{d}\tau'

2 Momento dipolar magnético

2.1 Para una espira

El momento magnético dipolar de una espira cerrada por la cual circula una corriente I viene dado por la expresión

\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}

Aquí \mathbf{S} es el vector superficie, por lo que

  • Para una espira plana, el momento magnético tiene por módulo el producto de la corriente por el área de la porción plana delimitado por la espira, y por sentido el normal a la superficie, según la regla de la mano derecha (si la corriente es positiva; en sentido opuesto en caso contrario).
Imagen:momentom1.png
  • Para una espira alabeada el vector superficie tiene por componentes las áreas de las proyecciones de la superficie sobre los planos coordenados. El momento magnético es igual a este vector multiplicado por la corriente.
Imagen:vectorsuperficie.png

2.1.1 Unidades

De las expresiones anteriores, es evidente que la unidad del momento magnético en el Sistema Internacional es 1 A·m².

2.1.2 Ejemplos

Espira rectangular
En el caso más sencillo, de una espira rectangular de lados a y b, el momento magnético será
\mathbf{m}=Iab\mathbf{n}\,
Si consideramos los lados de la espira como vectores, esta expresión equivale a
\mathbf{m}=I\mathbf{a}\times\mathbf{b}\,
Espira circular
Para una espira circular el momento es
\mathbf{m}=I\pi R^2\,\mathbf{n}
Espira tridimensional
Consideremos una espira alabeada formada por tres cuadrantes de circunferencia, de radio R que van de R\mathbf{u}_x a R\mathbf{u}_y, de ahí a R\mathbf{u}_z, y de vuelta a R\mathbf{u}_x. Tal como se ve en artículo sobre el vector superficie, para esta superficie tenemos
\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I\pi R^2}{4}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)

2.2 Para una distribución de corriente

El momento dipolar puede también calcularse, además de para una corriente lineal, para una distribución de corriente superficial, una de volumen, o una superposición de ellas. Las expresiones correspondientes son

\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'        \mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'

2.2.1 Ejemplo: Una esfera rotante

Artículo completo: Momento magnético de una esfera en rotación

Un caso particular de corriente de volumen localizada en el espacio es el de una distribución de carga en rotación. Este modelo puede ayudar a describir el comportamiento de una partícula cargada, como un electrón, que se caracteriza por un momento angular (el espín), equivalente en ciertos aspectos a una rotación.

Supongamos una esfera de radio R, con una carga q distribuida uniformemente en el volumeny que gira en torno a un eje (que tomaremos como eje Z) con velocidad angular \mathbf{w}. Para este sistema la densidad de corriente es, en esféricas

\mathbf{J}=\rho_0\mathbf{v}=\rho_0\mathbf{w}\times\mathbf{r}=\rho_0\omega r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\varphi        \rho_0=\frac{q}{4\pi R^3/3}

llevando esto a la integral resulta el momento magnético

\mathbf{m}=\frac{q R^2}{5}\mathbf{w}

Lo más destacado de este resultado es que es proporcional a la velocidad angular de la partícula. Puesto que lo mismo ocurre con el momento angular

\mathbf{L}=\frac{2}{5}mR^2\mathbf{w}

puede establecerse una relación de proporcionalidad entre el momento magnético y el momento angular

\mathbf{m}=\frac{q}{2m}\mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}

A la cantidad γ se la denomina razón giromagnética y es una propiedad de la partícula. Si bien un electrón no es una esfera en rotación, sí verifica una relación de este tipo. Esta es la causa de que se pueda hablar de los momentos magnéticos como pequeñas corrientes, mejor que como pares de polos magnéticos.

3 Campo magnético de un dipolo

El campo magnético debido a un dipolo se halla tomando el rotacional del potencial vector. El resultado es

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}

3.1 Demostración

La expresión del campo se obtiene hallando el rotacional del potencial vector

\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\left(\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}\right)

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\frac{1}{r^3}+\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\right)

El rotacional del primer sumando se demuestra que vale

\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})=2\mathbf{m}

mientras que el gradiente que aparece en el segundo sumando se demuestra que vale

\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)=-\frac{3\mathbf{r}}{r^5}

lo que nos deja con

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2r^2\mathbf{m}-3\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})}{r^5}

Desarrollando el doble producto vectorial se llega finalmente a la expresión del campo magnético.

4 Acción de un campo externo sobre un dipolo

Artículo completo: Acción de un campo magnético sobre un dipolo magnético

4.1 Fuerza

4.2 Par y momento

4.3 Energía

5 Dipolos de Ampère y dipolos de Gilbert

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