Campo magnético de una espira rectangular
De Laplace
(→Solución) |
(→Solución) |
||
Línea 28: | Línea 28: | ||
<center><math>\mathbf{B}=2\mathbf{B}_1+2\mathbf{B}_2=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{b/a+a/b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}\mathbf{n}</math></center> | <center><math>\mathbf{B}=2\mathbf{B}_1+2\mathbf{B}_2=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{b/a+a/b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}\mathbf{n}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Cuando <math>a=b</math> este resultado se reduce a | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{B}\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}</math></center> | ||
+ | |||
+ | y si <math>b\gg a</math> | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{B}\simeq \frac{2\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}</math></center> | ||
+ | |||
+ | esto es, los lados pequeños y muy alejados tienen una contribución despreciable, mientras que los largos y próximos producen un campo equivalente al de [[Campo_magnético_de_una_corriente_rectilínea#Hilo_infinito|dos hilos infinitamente largos]] | ||
[[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]] | [[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]] |
Revisión de 18:45 25 mar 2009
1 Enunciado
Calcule el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados a y b, por la cual circula una corriente continua I.
¿A qué se reducen los resultados si a = b? ¿Y si ?
2 Solución
El campo debido a un segmento rectilíneo puede escribirse en la forma
![\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}](/wiki/images/math/3/7/6/3767643562fa25c8df3df02a58c1fe98.png)
siendo α1 y α2 los ángulos con los que se ven los extremos del segmento desde el punto donde queremos hallar el campo, y es la normal al plano definido por el segmento y el punto de observación, con el sentido dado por la regla de la mano derecha.
En el caso de una espira rectangular, el campo en el centro irá en la dirección normal al plano de la espira, con el sentido dado por la regla de la mano derecha. La contribución de los cuatro lados va en el mismo sentido. Las contribuciones de lados opuestos se sumarán , dando el doble de cada una de ellas. Por tanto, sólo necesitamos calcular la contribución de un lado mayor (de longitud b) y de uno menor (de longitud a).
Para un lado de longitud b, la distancia del centro a dicho lado es a / 2, y los senos de los ángulos valen
![\mathrm{sen}\,\alpha_2 = \frac{b/2}{\sqrt{(b/2)^2+(a/2)^2}}](/wiki/images/math/1/7/f/17f7732212af97c8efcfb6de96138eb6.png)
![\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\,\mathrm{sen}\,\alpha_2](/wiki/images/math/e/6/a/e6ae8997e2ee25c5071f8255e436e262.png)
de forma que la contribución de este lado es
![\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{\pi a}\,\frac{b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}](/wiki/images/math/b/a/a/baab31679e61f8bd8c3e2203341a3346.png)
La contribución del lado corto será la correspondiente a intercambiar a por b
![\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{\pi b}\,\frac{a}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}](/wiki/images/math/0/7/5/07597cffdffe1440cbd2555719548b59.png)
Y el campo total en el centro de la espira
![\mathbf{B}=2\mathbf{B}_1+2\mathbf{B}_2=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{b/a+a/b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}\mathbf{n}](/wiki/images/math/1/a/0/1a0e14e0f40fb04f4db6725db6140317.png)
Cuando a = b este resultado se reduce a
![\mathbf{B}\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}](/wiki/images/math/4/8/d/48d4cb41fdfa5d11bd6044125cef0267.png)
y si
![\mathbf{B}\simeq \frac{2\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}](/wiki/images/math/4/4/0/4408a8fde7f1a3193e8bb48e5506d77b.png)
esto es, los lados pequeños y muy alejados tienen una contribución despreciable, mientras que los largos y próximos producen un campo equivalente al de dos hilos infinitamente largos