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Partícula unida a un sistema articulado

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
m (→Velocidad y rapidez)
(→Velocidad y rapidez)
Línea 53: Línea 53:
y la rapidez o celeridad es el módulo de esta
y la rapidez o celeridad es el módulo de esta
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<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>
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<center><math>|\vec{v}_0|=h\Omega</math></center>
De camino, obtenemos el vector tangente en este instante
De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

Revisión de 16:11 17 jun 2019

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular − 2Ω. En el instante t = 0 el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

  1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
  2. Para el instante t = 0 halle
    1. La velocidad y la rapidez.
    2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
    3. El radio y el centro de curvatura.
  3. Para el instante t = π / (2Ω) calcule
    1. La velocidad y la rapidez.
    2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png

2 Ecuaciones horarias

Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}

siendo

\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

y

\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

lo que da

\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

y la aceleración derivando una segunda vez

\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}
Archivo:varillas-articuladas-01.gif  Archivo:varillas-articuladas-02.gif

3 Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante t = 0 nos queda

\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}

sin más que aplicar que sen(0) = 0 y cos(0) = 1.

3.1 Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

|\vec{v}_0|=h\Omega

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}

3.2 Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Archivo:varillas-articuladas-03.png

4 Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

4.1 Velocidad y rapidez

Ya tenemos la velocidad

\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)

y nos queda la rapidez

\left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}

siendo el vector tangente en este instante

\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}

4.2 Aceleración

La aceleración al completo ya la conocemos

\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2

y en forma vectorial

\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

siendo la aceleración normal escalar

a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

Archivo:varillas-articuladas-04.png
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