Caso de movimiento parabólico (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 16:28 6 nov 2018

Contenido

1 Enunciado
2 Resultados

1 Enunciado

Una partícula se mueve con aceleración constante $\vec{a}_0=-4\vec{\imath}$ (m/s²), siendo su posición inicial el origen de coordenadas y su velocidad inicial $\vec{v}_0=16\vec{\imath}+12\vec{\jmath}$ (m/s).

Halle su posición como función del tiempo.
Determine el instante en que la rapidez o celeridad es mínima. Para este instante halle:
1. La aceleración tangencial y la normal (escalares)
2. Los vectores del triedro de Frenet
3. El radio de curvatura
4. El centro de curvatura
Calcule en qué instante vuelve a pasar por el eje OY. Para este instante halle:
1. La posición y la velocidad
2. Los vectores del triedro de Frenet
3. La aceleración tangencial y la normal (escalares)

2 Resultados

Todo en las unidades fundamentales del SI.

2.1 Posición

Posición

$\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 = (16 t - 2 t^2)\vec{\imath}+ 12 t\vec{\jmath}$

Velocidad

$\vec{v}=\vec{v}_0 +\vec{a}_0 t = (16 - 4 t)\vec{\imath}+ 12 \vec{\jmath}$

Aceleración

$\vec{a}=\vec{a}_0 = - 4\vec{\imath}$

2.2 Instante de rapidez mínima

Valor de t

$a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}\cdot\vec{v}=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 4$

Posición, velocidad y aceleración en t=4

$\vec{r}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

$a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}_n=\vec{a}=-4\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=4$

Triedro de Frenet

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\vec{\jmath}$

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\vec{\imath}$

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}$

Radio de curvatura

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_n|}=\frac{144}{4}=36$

Centro de curvatura

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}-36\vec{\imath}=-4\vec{\imath}+48\vec{\jmath}$

2.3 Instante en que pasa por OY

Valor de t

$x=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 8$

Posición, velocidad y aceleración en t=4

$\vec{r}=96\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=-16\vec{\imath}+12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

$a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=3.2\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=2.4$

Triedro de Frenet

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath}$

$\vec{N}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{\jmath}$

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}$

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 <center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}</math></center>
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Caso de movimiento parabólico (GIE)

De Laplace

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2.1 Posición

2.2 Instante de rapidez mínima

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