Caso de movimiento parabólico (GIE)
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve con aceleración constante (m/s²), siendo su posición inicial el origen de coordenadas y su velocidad inicial
(m/s).
- Halle su posición como función del tiempo.
- Determine el instante en que la rapidez o celeridad es mínima. Para este instante halle:
- La aceleración tangencial y la normal (escalares)
- Los vectores del triedro de Frenet
- El radio de curvatura
- El centro de curvatura
- Calcule en qué instante vuelve a pasar por el eje OY. Para este instante halle:
- La posición y la velocidad
- Los vectores del triedro de Frenet
- La aceleración tangencial y la normal (escalares)
2 Resultados
Todo en las unidades fundamentales del SI.
2.1 Posición
- Posición
![\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 = (16 t - 2 t^2)\vec{\imath}+ 12 t\vec{\jmath}](/wiki/images/math/c/d/b/cdba1ddfa68323cd5662184007a2ab4b.png)
- Velocidad
![\vec{v}=\vec{v}_0 +\vec{a}_0 t = (16 - 4 t)\vec{\imath}+ 12 \vec{\jmath}](/wiki/images/math/8/4/f/84f27bfe40d8da3798c635a476c32961.png)
- Aceleración
![\vec{a}=\vec{a}_0 = - 4\vec{\imath}](/wiki/images/math/e/c/0/ec00d0697d435bc5cd6f0885ce95b6ef.png)
2.2 Instante de rapidez mínima
- Valor de t
![a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}\cdot\vec{v}=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 4](/wiki/images/math/d/f/8/df8b764581f91527f3cef8d8715180c9.png)
- Posición, velocidad y aceleración en t=4
![\vec{r}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}](/wiki/images/math/a/6/e/a6e1fdeaba148c2620cebcb55423aaf9.png)
- Componentes intrínsecas de la aceleración
![a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}_n=\vec{a}=-4\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=4](/wiki/images/math/b/b/4/bb45a2ffb8287065a74fff4d682417e6.png)
- Triedro de Frenet
![\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\vec{\jmath}](/wiki/images/math/f/5/d/f5da2a6b9cc3ef587e44b92b2489dbba.png)
![\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\vec{\imath}](/wiki/images/math/3/a/3/3a391c04a64deab039b73f19d72782bc.png)
![\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}](/wiki/images/math/7/0/c/70c6ef4e03ed6198a9e7cca38b691f6b.png)
- Radio de curvatura
![R=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_n|}=\frac{144}{4}=36](/wiki/images/math/6/c/7/6c79a79e201cb4ac8bbc002981289c75.png)
- Centro de curvatura
![\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}-36\vec{\imath}=-4\vec{\imath}+48\vec{\jmath}](/wiki/images/math/2/e/f/2ef3c34d34715dad8e7819df98431878.png)
2.3 Instante en que pasa por OY
- Valor de t
![x=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 8](/wiki/images/math/e/f/2/ef2a77e151fffd0fb7c1987f15e97028.png)
- Posición, velocidad y aceleración en t=4
![\vec{r}=96\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=-16\vec{\imath}+12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}](/wiki/images/math/2/7/f/27f978bf8f33e8c26855a23e2facac47.png)
- Componentes intrínsecas de la aceleración
![a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=3.2\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=2.4](/wiki/images/math/b/8/5/b8516d775eea9fbf6ef34a4e6286fc72.png)
- Triedro de Frenet
![\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath}](/wiki/images/math/1/4/e/14e2b78059e0032b0971ad0f44dad436.png)
![\vec{N}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{\jmath}](/wiki/images/math/d/3/b/d3bb7b972f8ce2d35351f310f45072a0.png)
![\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}](/wiki/images/math/7/0/c/70c6ef4e03ed6198a9e7cca38b691f6b.png)
![Archivo:parabola-vertical.png](/wiki/images/0/09/Parabola-vertical.png)