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Caso de movimiento parabólico (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve con aceleración constante \vec{a}_0=-4\vec{\imath} (m/s²), siendo su posición inicial el origen de coordenadas y su velocidad inicial \vec{v}_0=16\vec{\imath}+12\vec{\jmath} (m/s).

  1. Halle su posición como función del tiempo.
  2. Determine el instante en que la rapidez o celeridad es mínima. Para este instante halle:
    1. La aceleración tangencial y la normal (escalares)
    2. Los vectores del triedro de Frenet
    3. El radio de curvatura
    4. El centro de curvatura
  3. Calcule en qué instante vuelve a pasar por el eje OY. Para este instante halle:
    1. La posición y la velocidad
    2. Los vectores del triedro de Frenet
    3. La aceleración tangencial y la normal (escalares)

2 Resultados

Todo en las unidades fundamentales del SI.

2.1 Posición

Posición
\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 = (16 t - 2 t^2)\vec{\imath}+ 12 t\vec{\jmath}
Velocidad
\vec{v}=\vec{v}_0 +\vec{a}_0 t = (16 - 4 t)\vec{\imath}+ 12 \vec{\jmath}
Aceleración
\vec{a}=\vec{a}_0 = - 4\vec{\imath}

2.2 Instante de rapidez mínima

Valor de t
a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}\cdot\vec{v}=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 4
Posición, velocidad y aceleración en t=4
\vec{r}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}
Componentes intrínsecas de la aceleración
a_t=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}_n=\vec{a}=-4\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=4
Triedro de Frenet
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\vec{\jmath}

 

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\vec{\imath}

 

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}
Radio de curvatura
R=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_n|}=\frac{144}{4}=36
Centro de curvatura
\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=32\vec{\imath}+48\vec{\jmath}-36\vec{\imath}=-4\vec{\imath}+48\vec{\jmath}

2.3 Instante en que pasa por OY

Valor de t
x=0\qquad\Rightarrow\qquad t = 8
Posición, velocidad y aceleración en t=4
\vec{r}=96\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}=-16\vec{\imath}+12\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-4\vec{\imath}
Componentes intrínsecas de la aceleración
a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=3.2\qquad\Rightarrow\qquad a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=2.4
Triedro de Frenet
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath}

 

\vec{N}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{\jmath}

 

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}
Archivo:parabola-vertical.png
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Caso_de_movimiento_parab%C3%B3lico_(GIE)"

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