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Segunda Convocatoria Ordinaria 2017/18 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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(→Dos partículas unidas por una barra)
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#Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de <math>O</math> en el instante <math>t_1=\pi L/2v_0</math>.
#Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de <math>O</math> en el instante <math>t_1=\pi L/2v_0</math>.
#Supongamos ahora que la partícula <math>B</math> se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el <math>OX</math> es constante e igual a <math>2v_0</math>. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir <math>\theta(t)</math> para que esto sea posible.
#Supongamos ahora que la partícula <math>B</math> se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el <math>OX</math> es constante e igual a <math>2v_0</math>. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir <math>\theta(t)</math> para que esto sea posible.
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Una barra de longitud <math>2d</math> y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje <math>OZ_1</math>.
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El punto <math>O</math> de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el
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plano <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra, también de longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> (sólido
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"2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto <math>A</math>. El
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pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira
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alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud
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natural nula <math>l_0=d</math> conecta los puntos <math>O</math> y <math>A</math>.
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#Determina las reducciones cinemáticas <math>\{01\}, \{20\}</math> y <math>\{21\}</math> en <math>G</math>.
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#Calcula  el momento cinético de la barra "2" respecto de <math>G</math>.
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#A partir de ahora suponemos que <math>\phi=\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0</math>, es decir, la coordenada <math>\phi</math> ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
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#En <math>t=0</math> tenemos <math>s(0)=d</math>, <math>\theta(0)=-\pi/2</math>, <math>\dot{s}(0)=0</math> y <math>\dot{\theta}=0</math> (<math>\phi</math> sigue estando fijada).  La barra "2" recibe una percusión <math>\vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, 0, \hat{F}_0]_1</math> en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.

Revisión de 11:48 17 sep 2018

1 Dos partículas unidas por una barra

Las partículas A y B, ambas con masa m, están unidas por una barra rígida de longitud 2L y masa despreciable. El punto C es el punto medio de la barra. La partícula A está obligada a moverse en el eje fijo OX, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo θ(t) con el eje OX. La partícula A se mueve con velocidad constante \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}. En el instante inicial la partícula A se encontraba en el punto O y θ(0) = 0. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

  1. Encuentra la expresión de los vectores de posición \vec{r}_A, \vec{r}_B y \vec{r}_C en función de v0, L, θ y t.
  2. Si el ángulo varía como \theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t, calcula la velocidad y aceleración de las partículas A y B y del centro de masas del sistema.
  3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal \vec{F}_A aplicada sobre la partícula A. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
  4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de O en el instante t1 = πL / 2v0.
  5. Supongamos ahora que la partícula B se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el OX es constante e igual a 2v0. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir θ(t) para que esto sea posible.

2 Barra girando alrededor de otra barra horizontal

Una barra de longitud 2d y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje OZ1. El punto O de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano OX1Y1. Otra barra, también de longitud 2d y masa m (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto A. El pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica k y longitud natural nula l0 = d conecta los puntos O y A.

  1. Determina las reducciones cinemáticas {01},{20} y {21} en G.
  2. Calcula el momento cinético de la barra "2" respecto de G.
  3. A partir de ahora suponemos que \phi=\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0, es decir, la coordenada φ ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
  4. En t = 0 tenemos s(0) = d, θ(0) = − π / 2, \dot{s}(0)=0 y \dot{\theta}=0 (φ sigue estando fijada). La barra "2" recibe una percusión \vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, 0, \hat{F}_0]_1 en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.
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