Composición de movimientos planos (CMR)

De Laplace

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1 Composiciones de velocidades y aceleraciones

Supongamos que tenemos tres sólidos “1”, “2” y “0” tales que los movimientos {20} y {01} son movimientos planos sobre el mismo plano director (o planos paralelos). En ese caso: La composición de dos movimientos planos paralelos entre sí es otro movimiento plano. Para todo punto P se verifica

$\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=(\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01})\cdot\vec{k}=0+0=0$

En este caso, la fórmula de composición de velocidades angulares se reduce a una suma de cantidades escalares

$\vec{\omega}_{ij}=\omega_{ij}\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{21}=\omega_{20}+\omega_{01}$

y lo mismo ocurre para la composición de aceleraciones angulares

$\vec{\alpha}_{ij}=\alpha_{ij}\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha_{21}\vec{k}=\alpha_{20}\vec{k}+\alpha_{01}\vec{k}+\omega_{20}\omega_{01}\overbrace{\vec{k}\times\vec{k}}^{=\vec{0}}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha_{21}=\alpha_{20}+\alpha_{01}$

Por su parte, la composición de velocidades y aceleraciones se convierte en suma de vectores en el plano, que en muchas ocasiones puede realizarse gráficamente. Así, para la composición de aceleraciones tenemos

$\vec{a}_{21}^P=\vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^P_{20}$

Gráficamente, el resultado del último producto corresponde a girar el vector $\vec{v}^P_{20}$ un ángulo de π\/2 en sentido antihorario.

2 Teorema de los tres centros

En un movimiento plano de tres sólidos en el que los tres movimientos relativos son rotaciones existen tres centros instantáneos de rotación, $I i j$ . En general se verifica el Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy: Los tres centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 01$ e $I 20$ están alineados.

Para demostrar el teorema aplicamos la fórmula de composición de velocidades al CIR $I 21$ . Tenemos que

$\vec{0}=\vec{v}_{21}^{I_{21}}=\vec{v}_{20}^{I_{21}}+\vec{v}_{01}^{I_{21}}$

Las velocidades relativa y de arrastre de este punto valen

$\vec{v}_{20}^{I_{21}}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}I_{21}}\qquad\qquad \vec{v}_{01}^{I_{21}}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{01}I_{21}}$

Sustituyendo en la velocidad absoluta queda

$\vec{0}=\vec{k}\times\left(\omega_{20}\overrightarrow{I_{20}I_{21}}+\omega_{01}\overrightarrow{I_{01}I_{21}}\right)$

Dado que los dos vectores que se multiplican no pueden ser paralelos esto implica que

$\vec{0}=\omega_{20}\overrightarrow{I_{20}I_{21}}+\omega_{01}\overrightarrow{I_{01}I_{21}}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{I_{20}I_{21}}=-\frac{\omega_{01}}{\omega_{20}}\overrightarrow{I_{01}I_{21}}$

Por tanto, puesto que el vector que une $I 21$ con $I 20$ es proporcional al que lo une con $I 01$ , los tres puntos están alineados.

Podemos dar una relación entre las posiciones respecto a un punto de referencia. Si sustituimos en la relación anterior

$\vec{0}=\omega_{20}\left(\overrightarrow{OI_{21}}-\overrightarrow{OI_{20}}\right)+\omega_{01}\left(\overrightarrow{OI_{21}}-\overrightarrow{OI_{01}}\right)$

queda

$\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI_{20}}+\omega_{01}-\overrightarrow{OI_{01}}}{\omega_{20}+\omega_{01}}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI_{20}}+\omega_{01}-\overrightarrow{OI_{01}}}{\omega_{21}}$

Vemos entonces que la posición del tercer centro es una media ponderada de las de los otros dos, siendo el peso de cada una la velocidad angular.

Si las dos velocidades van en el mismo sentido, el tercer centro estará en un punto intermedio del segmento. Si van en sentidos opuestos estará en la misma línea pero fuera del segmento.

Esta ley puede escribirse en la forma simétrica

$\omega_{12}\overrightarrow{OI_{12}}+\omega_{20}\overrightarrow{OI_{20}}+\omega_{01}\overrightarrow{OI_{01}}=\vec{0}$

Este resultado es generalizable al caso de que alguno de los movimientos sea una traslación. Supongamos que el movimiento de arrastre {01} es una traslación con velocidad de traslación $\vec{v}^P_{01}=\vec{v}_0$ . En ese caso tenemos

$\vec{0}=\vec{v}_{21}^{I_{21}}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}I_{21}}+\vec{v}_0\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{I_{20}I_{21}}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_0}{\omega_{20}}$

Por tanto, la línea que une los centros $I 20$ e $I 21$ es perpendicular a la velocidad de traslación $\vec{v}_0$ , en cuyo “extremo” se encuentra el CIR $I 01$ (que, por ser una traslación, es un punto del infinito).

El teorema de los tres centros permite determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación de sistemas de más de tres sólidos, a partir del conocimiento de algunos de ellos.

Las relaciones anteriores pueden generalizarse a una cadena de sólidos, de manera que el CIR de la composición cumple

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \overrightarro{OI}=\frac{\sum_k \omega_k\overrightarrow{OI}_k}{\sum_k\omega_k}

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