Partícula con aceleración dependiente de x
De Laplace
(Página creada con '= Enunciado = Una partícula se desplaza sobre el eje <math>OX</math> de modo que su aceleración cumple en cada instante <math>a(x) = -Ax</math>, siendo <math>A</math> una cons…') |
(→Solución) |
||
| Línea 71: | Línea 71: | ||
\int\dfrac{\mathrm{d}u}{\sqrt{A}} = \int \mathrm{d}t | \int\dfrac{\mathrm{d}u}{\sqrt{A}} = \int \mathrm{d}t | ||
\Longrightarrow | \Longrightarrow | ||
| - | u = \sqrt{A}t + | + | u = \sqrt{A}t + D |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
| Línea 77: | Línea 77: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
| - | x = \dfrac{v_0}{\sqrt{A}}\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{A}t + | + | x = \dfrac{v_0}{\sqrt{A}}\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{A}t + D) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
| Línea 83: | Línea 83: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
| - | + | D = \,\mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{x_0\sqrt{A}}{v_0}\right) | |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]] | ||
Revisión de 17:05 2 oct 2017
1 Enunciado
Una partícula se desplaza sobre el eje OX de modo que su aceleración cumple en cada instante a(x) = − Ax, siendo A una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es v0. Determina la función v(x).
2 Solución
La aceleración es
Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por dx
Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.
Hemos usado que v = dx / dt. Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.
Imponiendo la condición inicial
y por tanto
Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para x(t)
Para integrar hacemos el cambio
Integrando queda
Y entonces
Si en t = 0 tenemos x = x0 nos queda
