De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje $O X$ de modo que su aceleración cumple en cada instante $a (x) = - A 2 x$ , siendo $A$ una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es $v 0$ . Determina la función $v (x)$ .

2 Solución

La aceleración es

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por $d x$

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}$

Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v$

Hemos usado que $v = d x / d t$ . Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.

$v\,\mathrm{d}v = a(x)\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \int v\,\mathrm{d}v = \int -A^2x\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \dfrac{1}{2}v^2 = -\dfrac{1}{2}A^2x^2 + C$

Imponiendo la condición inicial

$C = \dfrac{v_0^2}{2}$

y por tanto

$v(x) = \sqrt{v_0^2 - A^2x^2}$

Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para $x (t)$

$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x) \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \mathrm{d}t$

Para integrar hacemos el cambio

$x =\dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,u \Longrightarrow \mathrm{d}x =\dfrac{v_0}{A}\cos u\,\mathrm{d}u \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \dfrac{\mathrm{d}u}{A}$