Esfera rodando sin deslizar en un recipiente cilíndrico, F1GIA 2016-17
De Laplace
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Contenido |
1 Enunciado
Una esfera de radio R (sólido "2") se mueve en el interior de un recipiente cilíndrico de radio 2R (sólido "1"). El movimiento es tal que, en todo momento, la esfera rueda sin deslizar en los dos puntos A y B en contacto con la superficie cilíndrica (ver figura). El centro C de la esfera realiza un movimiento circular uniforme. Introducimos un sólido intermedio OX0Y0Z0, de modo que el eje OZ0 coincide en todo instante con OZ1, y el plano OX0Z0 contiene siempre al centro de la esfera C. Este plano gira alrededor de OZ0, en sentido antihorario y con velocidad angular constante Ω.
- Obtenga reducciones cinemáticas de todos los movimientos relativos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas instantáneas. Indique que tipo de movimiento son.
- ¿Cómo son los movimientos de pivotamiento y rodadura del sólido "2" respecto del "1" en los puntos que ocupan las posiciones de contacto A y B?.
- Calcula
y
.
2 Solución
2.1 Análisis de la información cinemática en el enunciado
La esfera no desliza en los puntos A y B, por tanto
Entonces
El plano OX0Z0 realiza una rotación de eje permanente con velocidad angular constante. Entonces
y además
El punto C es un punto fijo común de la esfera y el sólido "0". Por tanto
Como se ve en la figura de la derecha. los ejes Δ21 y Δ01 se cortan en el punto I. Entonces . Y por tanto
2.2 Reducciones cinemáticas
2.2.1 Movimiento {01}
Tenemos
La velocidad de este movimiento es cero en cualquier punto del eje OZ0. La derivada temporal es
Es una rotación de eje permanente. Por eso la velocidad y aceleración de todos los puntos del eje es nula en todo instante.
2.2.2 Movimiento {21}
Sabemos que , entonces
La velocidad en A es
Y en el centro de la esfera es
Por otro lado,
Comparando obtenemos
Una reducción cinemática es