Oscilaciones acopladas (CMR)
De Laplace
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En primer lugar determinamos las posiciones de equilibrio de las dos masas. Para ello suponemos que se anulan las aceleraciones y queda el sistema | En primer lugar determinamos las posiciones de equilibrio de las dos masas. Para ello suponemos que se anulan las aceleraciones y queda el sistema | ||
| - | <center><math>\begin{array}{ | + | <center><math>\begin{array}{rcrcl}-(k+K)x_1 & + & K x_2 & = & KL_0-kl_0 \\ |
K x_1 & - & (k+K)x_2& = & kl_0 - kb - K L_0 | K x_1 & - & (k+K)x_2& = & kl_0 - kb - K L_0 | ||
\end{array}</math></center> | \end{array}</math></center> | ||
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| + | Sumando las dos ecuaciones obtenemos | ||
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| + | <center><math>x_1+x_2 = b\,</math></center> | ||
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| + | que nos dice que el punto medio entre las dos masas es el central del sistema y que están situadas simétricamente respecto a este punto. Despejando de aquí y sustituyendo | ||
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| + | <center><math>-(k+K)x_1 + K (b-x_1) = KL_0-kl_0 \qquad\Rightarrow\qquad x_{1\mathrm{eq}} = \frac{Kb - KL_0 + kl_0}{k+2K}</math></center> | ||
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| + | Podemos, a modo de comprobación, tomar límites destacados. | ||
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| + | * Si <math>k\to\infty</math> esta posición tiende a | ||
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| + | <center><math>x_{1\mathrm{eq}}\xrightarrow{k\to\infty} l_0</math></center> | ||
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| + | :que nos dice que los muelles exteriores son rígidos y las masas están a una distancia fijada | ||
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| + | * Si <math>K\to\infty</math> el límite es | ||
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| + | <center><math>x_{1\mathrm{eq}}\xrightarrow{K\to\infty} \frac{b-L_0}{2}</math></center> | ||
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| + | :que nos dice que la masa se queda a una distancia <math>L_0/2</math> y por tanto el muelle central tiene una longitud fijada igual a <math>L_0</math>. | ||
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| + | ===Ecuaciones para las elongaciones=== | ||
| + | Definimos ahora las elongaciones como las diferencias respespecto a las posiciones de equilibrio | ||
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| + | <center><math>x_1= x_{1\mathrm{eq}} + s_1\qquad\qquad x_2= x_{2\mathrm{eq}} + s_2</math></center> | ||
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| + | En términos de las elongaciones las ecuaciones de movimiento quedan en la forma | ||
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| + | <center><math>\begin{array}{rcrcr} | ||
| + | m\ddot{s}_1 & = & -(k+K)s_1& + &K s_2\\ | ||
| + | m\ddot{s}_2 & = & K s_1 & - & (k+K)s_2 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | </math></center> | ||
==Caso general de dos osciladores== | ==Caso general de dos osciladores== | ||
[[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]] | [[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]] | ||
Revisión de 22:32 6 oct 2016
Contenido |
1 Introducción
En un sistema real existen diferentes mecanismos que producen oscilaciones, siendo raro que se pueda describir un sólido real como un solo oscilador armónico. Esas diferentes formas de oscilación (modos) pueden superponerse y si son no lineales, incluso afectarse mutuamente.
En la respuesta a una excitación oscilante, un sistema real puede mostrar diferentes frecuencias de resonancia, según el modo que se excite.
Consideremos, como ejemplo sencillo, el caso de dos masas m1 y m2 de las cuales la primera está unida a una pared por un resorte horizontal de constante k1 y la segunda a la primera por uno de constante k2.
Es fácil ver que este sistema puede tener conductas muy diferentes dependiendo de los valores de los parámetros.
- Si
el primer muelle se convierte en una varilla rígida y no deja moverse a la primera masa.
- Si
es el segundo muelle el que se comporta como una barra y las dos masas se mueven al únisono.
- Si
la inercia de la primera masa le impide moverse.
- Si
los dos resortes en serie se comportan como uno solo.
Este caso posee una solución general que se puede hallar de forma sistemática, como veremos, pero que no es trivial. Consideraremos previamente un sistema más sencillo para ilustrar los aspectos principales.
2 Sistema simétrico
Supongamos dos masa iguales, m, situadas sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unidas a paredes enfrentadas que distan b por resortes también iguales de constante k y longitud natural l0. Las dos masas están unidas entre si por otro resorte de constante K y longitud natural L0.
Se trata de estudiar la dinámica de este sistema para distintos valores de las constantes y diferentes condiciones iniciales.
2.1 Ecuaciones de movimiento
Puesto que el movimiento es a lo largo de la recta que une las dos masas, podemos prescindir de los vectores y emplear magnitudes escalares.
La masa de la izquierda (masa 1) experimenta una fuerza por cada resorte conectada a ella, de forma que
y de manera análoga ocurre con la masa 2
2.2 Posición de equilibrio
En primer lugar determinamos las posiciones de equilibrio de las dos masas. Para ello suponemos que se anulan las aceleraciones y queda el sistema
Sumando las dos ecuaciones obtenemos
que nos dice que el punto medio entre las dos masas es el central del sistema y que están situadas simétricamente respecto a este punto. Despejando de aquí y sustituyendo
Podemos, a modo de comprobación, tomar límites destacados.
- Si
esta posición tiende a
- que nos dice que los muelles exteriores son rígidos y las masas están a una distancia fijada
- Si
el límite es
- que nos dice que la masa se queda a una distancia L0 / 2 y por tanto el muelle central tiene una longitud fijada igual a L0.
2.3 Ecuaciones para las elongaciones
Definimos ahora las elongaciones como las diferencias respespecto a las posiciones de equilibrio
En términos de las elongaciones las ecuaciones de movimiento quedan en la forma
