El vector de posición y otros ejemplos
De Laplace
(→Otro cambio de base) |
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<center><math>\mathbf{A} = \frac{z\cos\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{x}+ \frac{z\,\mathrm{sen}\,\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{y} - \frac{\rho}{z}\mathbf{u}_{z}</math></center> | <center><math>\mathbf{A} = \frac{z\cos\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{x}+ \frac{z\,\mathrm{sen}\,\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{y} - \frac{\rho}{z}\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
| - | y a continuación sustituimos las coordenadas, empleando las [[ | + | y a continuación sustituimos las coordenadas, empleando las [[Relación entre los distintos sistemas de coordenadas|relaciones correspondientes]] |
<center><math>\mathbf{A} = \frac{zx}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\frac{zy}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\mathbf{u}_{z}</math></center> | <center><math>\mathbf{A} = \frac{zx}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\frac{zy}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
Revisión de 14:22 22 nov 2007
1 Vector de posición
Como primer ejemplo de vector expresado en los tres sistemas veremos el propio vector de posición, que une el origen de coordenadas con el punto 
. Lo hemos expresado en cartesianas. Lo escribimos de nuevo empleando la notación 
Para escribirlo en cilíndricas, puede existir la tentación de ponerlo como 
pero estaría mal, rotundamente mal. Para empezar porque este vector ni siquiera es dimensionalmente correcto, ya que suma una distancia (medida en metros) con un ángulo (medido en radianes). La forma correcta es
Podemos llegar a este resultado por una sencilla construcción geométrica. El vector de posición es la suma vectorial de un vector en el plano 
, que va desde el origen hasta la proyección de 
sobre dicho plano, 
y otro que une este punto con el final, 
. Comparando estos dos resultados tenemos la relación adicional
En esféricas, la expresión es aún más sencilla. Puesto que 
es el unitario en la dirección radial, el vector se obtiene simplemente multiplicando este unitario por el módulo de
Antes dijimos que esta expresión es mucho más sencilla que empleando la base cartesianas, y es cierto, pero no hay que pensar que porque 
y 
han desaparecido de la ecuación, este vector ya no depende de esas dos coordenadas. Sí, lo hace, sólo que la dependencia está escondida en 
, ya que
Reuniendo los tres resultados
2 Otro cambio de base
Supongamos un vector sin interpretación geométrica, por ejemplo
¿Cómo se escribe este vector en cartesianas? Primero cambiamos de base, aplicando las relaciones entre las bases
y a continuación sustituimos las coordenadas, empleando las relaciones correspondientes
Si en lugar de a cartesianas queremos pasar a esféricas podemos cambiar primero las coordenadas
y, a continuación, cambiamos de base,
vemos que un vector que se expresa de forma sencilla en un sistema puede ser muy complejo en otro diferente. Normalmente aparecen raíces cuadradas de lo más molestas.
