Dos hemisferios y una lámina conductora
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
===Cargas y potenciales=== | ===Cargas y potenciales=== | ||
+ | Este sistema está formado por solo dos conductores, ya que las semiesferas están conectadas en todo momento, de forman que se comportan de forma solidaria. llmamaremos “1” a la placa central y “2” a la asociación de los dos hemisferios. | ||
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+ | La matriz de coeficientes de capacidad tendrá tres elementos independientes | ||
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+ | <center><math>\mathsf{C}=\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12}\\ C_{12} & C_{22}\end{pmatrix</math></center> | ||
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+ | Estos coeficientes pueden calcularse a partir del circuito equivalente, el cual estará formado, en principio por tres condensadores. | ||
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+ | El condensador <math>\overline{C}_{12}</math> es el que forma la placa central con las dos semiesferas. Su capacidad corresponde a la asociación en paralelo de dos condensadores planos, de sección <math>\pi R^2</math> y distancia entre placas <math>a</math>. Por ello, | ||
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+ | <center><math>\overline{C}_{12}= \frac{2\varepsilon_0 \pi R^2}{a}</math></center> | ||
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+ | El condensador <math>\overline{C}_{11}</math> corresponde a las líneas de campo que van de la placa central a tierra (el infinito). Sin embargo, si despreciamos los efectos de borde, todas las líneas de campo del conductor 1 van a parar al 2, esto es, el 1 se encuentra en influencia total con el 2. Al no haber líneas que vayan del 1 al infinito | ||
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+ | <center><math>\overline{C}_{11} = 0</math></center> | ||
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===Campo eléctrico=== | ===Campo eléctrico=== | ||
===Energía electrostática=== | ===Energía electrostática=== |
Revisión de 16:44 14 ene 2009
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sistema formado por dos conductores hemisféricos de radio R. Estas dos semiesferas están separadas una pequeña distancia 2a (![a\ll R](/wiki/images/math/0/5/c/05ccab4b0a14206d3d823ce52bd48722.png)
Las dos semiesferas están conectadas por un hilo conductor en todo momento.
- Suponga que la chapa se encuentra a una tensión V0 mientras que el conjunto de las dos semiesferas está aislado y descargado. ¿Cuánto valen la cargas almacenadas y las tensiones de cada conductor?
- Para el caso anterior de las expresiones aproximadas para el campo entre la chapa y los hemisferios, y en el exterior de estos.
- Calcule la energía electrostática almacenada en este sistema.
- Suponga que se desconecta la fuente V0 y, acto seguido, se ponen los hemisferios a tierra. ¿Cuáles son las nuevas cargas, tensiones y energía almacenada?
Desprecie los efectos de borde.
2 Solución
2.1 Cargas y potenciales
Este sistema está formado por solo dos conductores, ya que las semiesferas están conectadas en todo momento, de forman que se comportan de forma solidaria. llmamaremos “1” a la placa central y “2” a la asociación de los dos hemisferios.
La matriz de coeficientes de capacidad tendrá tres elementos independientes
Estos coeficientes pueden calcularse a partir del circuito equivalente, el cual estará formado, en principio por tres condensadores.
El condensador es el que forma la placa central con las dos semiesferas. Su capacidad corresponde a la asociación en paralelo de dos condensadores planos, de sección πR2 y distancia entre placas a. Por ello,
![\overline{C}_{12}= \frac{2\varepsilon_0 \pi R^2}{a}](/wiki/images/math/9/c/7/9c7a9cce5db14b141b24ac6ae0143560.png)
El condensador corresponde a las líneas de campo que van de la placa central a tierra (el infinito). Sin embargo, si despreciamos los efectos de borde, todas las líneas de campo del conductor 1 van a parar al 2, esto es, el 1 se encuentra en influencia total con el 2. Al no haber líneas que vayan del 1 al infinito
![\overline{C}_{11} = 0](/wiki/images/math/a/e/6/ae6ea20ddbe0d59af24afa0fa9a28992.png)