Ejemplo de movimiento armónico tridimensional
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones | Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones | ||
| - | <center><math>\vec{a}=-\omega^2 \vec{r} | + | <center><math>\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}</math></center> |
| - | </math></center> | + | |
siendo su posición y velocidad iniciales | siendo su posición y velocidad iniciales | ||
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Sustituimos los datos del enunciado y queda | Sustituimos los datos del enunciado y queda | ||
| - | <center><math>\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t) | + | <center><math>\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t) |
= 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}</math></center> | = 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}</math></center> | ||
| + | ===Velocidad=== | ||
| + | Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | ===Aceleración=== | ||
| + | Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}</math></center> | ||
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Revisión de 18:27 9 nov 2015
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones
siendo su posición y velocidad iniciales
- Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
- Para el instante t = 0 halle:
- El triedro de Frenet:
.
- Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
- La posición del centro de curvatura.
- El triedro de Frenet:
- Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
- Escriba las ecuaciones horarias
.
- Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
- Escriba las ecuaciones horarias
- Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.
2 Posición, velocidad y aceleración
2.1 Posición
En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma
Sustituimos los datos del enunciado y queda
2.2 Velocidad
Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo
2.3 Aceleración
Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico
