Aro centrado en el origen (MR G.I.C.)

De Laplace

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Revisión de 18:53 28 oct 2015

1 Enunciado

Tenemos un aro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ con centro $O$ . Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

Calcula la matriz de inercia en $O$ , usando los ejes indicados en la figura.
Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $O$ y forma un ángulo de $π / 3$ con el eje $O X 3$ .

2 Solución

2.1 Tensor de inercia

La forma general del tensor de inercia en un punto es

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\ -P_{12} & I_{22} & -P_{23}\\ -P_{13} & -P_{23} & I_{33} \end{array} \right]$

Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos

$P_{13} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_3=0$

Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple $x 3 = 0$ . Por la misma razón tenemos

$P_{23} = \int\mathrm{d}m\,x_2x_3=0$

Para el otro producto de inercia

$P_{12} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_2 = \int\mathrm{d}m (R\cos\theta)(R\,\mathrm{sen}\,\theta)$

Tenemos

$\mathrm{d}m = \dfrac{M}{2\pi R}\,R\mathrm{d}\theta$

por lo que

$P_{12} = \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \dfrac{MR}{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{MR}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \,\mathrm{sen}\,(2\theta) =0$

Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje $X 3$ es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de $X 3$ , todas las direcciones perpendiculares a $X 3$ que pasen por $O$ son principales de inercia, en particular $X 1$ y $X 2$ . Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.