Primera convocatoria 2014/15 (F2GIA)
De Laplace
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| + | Una esfera conductora de radio <math>2R</math> y centro <math>O</math> tiene practicados en su interior dos huecos esféricos tangentes pero no conectados, ambos de radio <math>R</math>, de centros <math>A</math> y <math>B</math>, de manera que <math>\overrightarrow{OA}=-R\!\ \mathbf{i}</math>, | ||
| + | y <math>\overrightarrow{OB}=R\!\ \mathbf{i}</math>. Inicialmente, los huecos | ||
| + | están vacíos y la esfera descargada. | ||
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| + | Se procede a introducir en los huecos sendos gases ionizados, con iones de distinto signo y en concentraciones <math>n_1</math> y <math>n_2</math> lo | ||
| + | suficientemente bajas como para poder considerar que las correspondientes cargas eléctricas se distribuyen uniformemente en cada uno de los volúmenes; así en el hueco de centro <math>A</math> hay una densidad volumétrica de carga constante <math>\rho_1=n_1\!\ e</math>, y en la de centro <math>B</math>, es <math>\rho_2=-n_2\!\ e</math>. | ||
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| + | ;Obtenga las expresiones de las magnitudes que se indican a continuación, en función de los parámetros descritos, una vez que el sistema recupera el equilibrio electrostático: | ||
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| + | :'''a)''' Carga eléctrica libre, <math>Q_0</math>, en la superficie exterior de la esfera conductora, y densidad superficial que describe su distribución. | ||
| + | :'''b)''' Campo eléctrico dentro de cada uno de los huecos con gas ionizado. | ||
| + | :'''c)''' Valor <math>V_0</math> del potencial electrostático a que se encuentra la esfera conductora. Diferencia de potencial entre los centros <math>A</math> y <math>B</math> de los huecos. | ||
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| + | A continuación, la esfera se conecta mediante un cable conductor muy largo a un disco conductor de radio <math>R</math>, que se encuentra separado una distancia <math>d</math> de otro disco idéntico conectado a tierra, formando ambos un condensador plano paralelo. El espacio entre los discos está relleno de aire. | ||
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| + | ;En este nuevo sistema... | ||
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| + | :'''d)''' ¿Qué relación deben verificar <math>R</math> y <math>d</math> para que la carga <math>Q_0</math> de la superficie conductora se reparta a partes iguales entre ésta y el disco del condensador al cuál está conectada? | ||
| + | :'''e)''' Determine la expresión del potencial electrostático <math>V</math> en la esfera conductora y el disco, en función de los parámetros <math>R</math> y <math>d</math>. | ||
| + | :'''f)''' Considérese el caso <math>R=5\,\mathrm{cm}</math> y <math>Q_0=10\,\mathrm{nC}</math>. Determine el valor mínimo posible para la distancia <math>d</math> de separación entre discos. | ||
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| + | '''Datos:''' carga elemental: <math>\;\displaystyle e\approx | ||
| + | 1,6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}</math>;{{qquad}} campo de ruptura dieléctrica | ||
| + | del aire, <math>E_\mathrm{rup}\approx 3\,\mathrm{kV/mm}</math>. | ||
Revisión de 14:18 4 jul 2015
Esfera con huecos cargados y condensador
Una esfera conductora de radio 2R y centro O tiene practicados en su interior dos huecos esféricos tangentes pero no conectados, ambos de radio R, de centros A y B, de manera que 
,
y 
. Inicialmente, los huecos
están vacíos y la esfera descargada.
Se procede a introducir en los huecos sendos gases ionizados, con iones de distinto signo y en concentraciones n1 y n2 lo
suficientemente bajas como para poder considerar que las correspondientes cargas eléctricas se distribuyen uniformemente en cada uno de los volúmenes; así en el hueco de centro A hay una densidad volumétrica de carga constante 
, y en la de centro B, es 
.
- Obtenga las expresiones de las magnitudes que se indican a continuación, en función de los parámetros descritos, una vez que el sistema recupera el equilibrio electrostático
- a) Carga eléctrica libre, Q0, en la superficie exterior de la esfera conductora, y densidad superficial que describe su distribución.
- b) Campo eléctrico dentro de cada uno de los huecos con gas ionizado.
- c) Valor V0 del potencial electrostático a que se encuentra la esfera conductora. Diferencia de potencial entre los centros A y B de los huecos.
A continuación, la esfera se conecta mediante un cable conductor muy largo a un disco conductor de radio R, que se encuentra separado una distancia d de otro disco idéntico conectado a tierra, formando ambos un condensador plano paralelo. El espacio entre los discos está relleno de aire.
- En este nuevo sistema...
- d) ¿Qué relación deben verificar R y d para que la carga Q0 de la superficie conductora se reparta a partes iguales entre ésta y el disco del condensador al cuál está conectada?
- e) Determine la expresión del potencial electrostático V en la esfera conductora y el disco, en función de los parámetros R y d.
- f) Considérese el caso
y 
. Determine el valor mínimo posible para la distancia d de separación entre discos.
Datos: carga elemental: 
; campo de ruptura dieléctrica
del aire, 
.
