Rodillo unido a un resorte
De Laplace
| Línea 61: | Línea 61: | ||
Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda | Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda | ||
| - | <center><math>\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{4}Mv_C^2 = \frac{1}{2}kA^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_C = \sqrt{\frac{2k}{3M}} | + | <center><math>\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{4}Mv_C^2 = \frac{1}{2}kA^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_C = A\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center> |
| + | y para la velocidad angular | ||
| + | |||
| + | <center><math>\omega = \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center> | ||
| + | |||
| + | En forma vectorial | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{v}_C=-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{\imath}\qquad\qquad \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | ===Mediante el análisis de fuerzas== | ||
==Periodo de oscilación== | ==Periodo de oscilación== | ||
==Fuerza de rozamiento estático== | ==Fuerza de rozamiento estático== | ||
Revisión de 15:22 3 feb 2015
Contenido |
1 Enunciado
Un rodillo cilíndrico macizo de radio R y masa M se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ. El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante k y longitud natural l0.
Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia A y se suelta desde el reposo. El rodillo rueda sin deslizar.
- Halle la velocidad del centro del rodillo y la velocidad angular para el instante en que su centro pasa por la posición de equilibrio.
- ¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones que describe?
- Calcule la fuerza de rozamiento estático que ejerce el suelo sobre el rodillo (a) en la posición inicial y (b) al pasar por la posición de equilibrio.
- ¿Cuál es el máximo valor de A que se puede alejar el rodillo si no se quiere que este empiece a deslizar sobre el suelo?
2 Introducción
Este problema es muy similar al de una bola que rueda por una pendiente, con la diferencia de que allí la fuerza que hace rodar la bola es el peso y aquí el rodillo rueda por la fuerza elástica.
3 Velocidades
Este apartado se puede hacer de forma sencilla tanto empleando el balance energético como el de las fuerzas aplicadas.
3.1 Mediante el balance de energía
Sobre el rodillo actúan cuatro fuerzas:
- Su peso, que es vertical y constante.
- La reacción normal del suelo, que dado que no hay desplazamiento vertical, va a ser siempre opuesta al peso.
- La fuerza elástica, que verifica la ley de Hooke
- La fuerza de rozamiento estático, que es la que consigue que el cilindro ruede sin deslizar
De estas cuatro fuerzas, las dos aplicadas en el punto de contacto, 
y 
, no desarrollan potencia alguna, por ser nula la velocidad de este punto. Las otras dos, el peso y la fuerza elástica, son fuerzas conservativas.
Por tanto, se conserva la energía mecánica en este sistema.
La energía mecánica inicial es solo potencial, ya que el cilindro parte del reposo
La energía, cuando pasa por la posición de equilibrio contiene energía cinética de rotación, de traslación y mantiene potencial gravitatoria, ya que no ha subido ni bajado.
Igualando las dos cantidades queda
Queda relacionar las energías cinéticas de rotación y traslación. Por ser un cilindro macizo
y, por estar rodando sin deslizar, las velocidades tienen las direcciones y sentidos
cumpliéndose
Por tanto, la energía cinética de rotación es igual a
Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda
y para la velocidad angular
En forma vectorial
