Motocicleta en una curva
De Laplace
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# Supongamos que Jorge Lorenzo toma una curva de 150 m de radio a una velocidad de 160 km/h ¿cuánto debe inclinarse en grados respecto a la vertical para no caerse ni a un lado ni al otro? | # Supongamos que Jorge Lorenzo toma una curva de 150 m de radio a una velocidad de 160 km/h ¿cuánto debe inclinarse en grados respecto a la vertical para no caerse ni a un lado ni al otro? | ||
# Es sabido que Marc Márquez es capaz de inclinarse más que otros pilotos. Si en esa misma curva Márquez se inclina 60°, ¿a qué velocidad puede pasar por la curva? ¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente rozamiento estático del neumático sobre el asfalto? | # Es sabido que Marc Márquez es capaz de inclinarse más que otros pilotos. Si en esa misma curva Márquez se inclina 60°, ¿a qué velocidad puede pasar por la curva? ¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente rozamiento estático del neumático sobre el asfalto? | ||
| - | # Si en esa curva, Pedrosa intenta hacer lo mismo que Jorge y Marc, pero pisa un charco que nadie más ha visto, de forma que el coeficiente de rozamiento estático se reduce a <math>\mu=0.5</math>, ¿qué efecto tiene sobre la moto (a) respecto a su trayectoria (b) respecto a | + | # Si en esa curva, Pedrosa intenta hacer lo mismo que Jorge y Marc, pero pisa un charco que nadie más ha visto, de forma que el coeficiente de rozamiento estático se reduce a <math>\mu=0.5</math>, ¿qué efecto tiene sobre la moto (a) respecto a su trayectoria (b) respecto a su inclinación? |
| - | su inclinación? | + | |
==Introducción== | ==Introducción== | ||
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Para producir esta aceleración debe existir una fuerza actuando en la dirección normal y hacia adentro. Esto se consigue de dos formas: girando la rueda delantera e inclinando el cuerpo. Ambas acciones deben realizarse a la vez, si se quiere evitar la caída. | Para producir esta aceleración debe existir una fuerza actuando en la dirección normal y hacia adentro. Esto se consigue de dos formas: girando la rueda delantera e inclinando el cuerpo. Ambas acciones deben realizarse a la vez, si se quiere evitar la caída. | ||
| + | Supongamos que en un instante dado la motocicleta se encuentra describiendo una curva de radio <math>R</math> con velocidad <math>\vec{v}_C</math>. Tomamos como eje OX el instantáneo que pasa por el centro de la circunferencia y el punto de apoyo de la moto. Como eje OY el vertical hacia arriba y como OZ el que sale hacia afuera de la pantalla o el papel. Entonces, si la dirección de avance de la motocicleta es hacia afuera, tenemos | ||
| + | <center><math>\vec{v}_C=v_C\vec{k}\qquad\qquad \vec{a}_C=\frac{v_C^2}{R}\vec{\imath}</math></center> | ||
| + | El motorista se inclina hacia adentro de la curva, de forma que la línea que va desde el punto de apoyo A hasta el centro de masas forma un ángulo <math>\theta</math> con la vertical, con lo que la posición del CM respecto al punto apoyo es | ||
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| + | <center><math>\vec{AC}=h\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+h\cos(\theta)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | Sobre la moto, en este plano actúan tres fuerzas: | ||
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| + | * El peso <math>M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}</math> | ||
| + | * La reacción normal en A, <math>\vec{F}_n=F_n\vec{\jmath}</math> | ||
| + | * La fuerza de rozamiento estático en A, <math>\vec{F}_r=F_r\vec{\imath}</math> | ||
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| + | La ecuación de movimiento para el CM queda entonces | ||
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| + | <center><math>M\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r=M\vec{a}_C\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rlc} F_r & = & \dfrac{Mv_C^2}{R} \\ && \\ F_n-Mg & = & 0 \end{array}\right.</math></center> | ||
==Velocidad dada la inclinación== | ==Velocidad dada la inclinación== | ||
==Efecto de un charco== | ==Efecto de un charco== | ||
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]] | ||
Revisión de 11:59 16 ene 2015
Contenido |
1 Enunciado
A la hora de tomar una curva, ¿de qué sirve inclinarse lateralmente?
- Supongamos que Jorge Lorenzo toma una curva de 150 m de radio a una velocidad de 160 km/h ¿cuánto debe inclinarse en grados respecto a la vertical para no caerse ni a un lado ni al otro?
- Es sabido que Marc Márquez es capaz de inclinarse más que otros pilotos. Si en esa misma curva Márquez se inclina 60°, ¿a qué velocidad puede pasar por la curva? ¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente rozamiento estático del neumático sobre el asfalto?
- Si en esa curva, Pedrosa intenta hacer lo mismo que Jorge y Marc, pero pisa un charco que nadie más ha visto, de forma que el coeficiente de rozamiento estático se reduce a μ = 0.5, ¿qué efecto tiene sobre la moto (a) respecto a su trayectoria (b) respecto a su inclinación?
2 Introducción
Este problema tiene una relación directa con el problema del vuelco de un camión. También con el de la motocicleta que acelera, con la diferencia esencial respecto a ese problema de que aquí debemos considerar una aceleración lateral, mientras que allí era en la dirección de avance.
Este problema puede abordarse de forma intuitiva con ayuda del concepto de fuerza centrífuga. Sin embargo, dado que el tratamiento matemático de las fuerzas de inercia (centrífuga, Coriolis y otras) se escapa al contenido del curso, lo trataremos usando exclusivamente la descripción de la dinámica del sólido en un sistema de referencia inercial.
El problema de la dinámica de una motocicleta (y de una bicicleta) es un tema extremadamente complejo, que se halla aun en estudio. A la hora de considerar el paso por curva influyen factores como la dirección de las ruedas respecto al eje de la moto, la posición del cuerpo del motorista, los movimientos que hace, el cambio de rapidez al recorrer la curva, el posible peralte de la pista, etc.
Por ello, aquí solamente consideraremos el aspecto más elemental, tratando la motocicleta como un sólido con una cierta inclinación respecto a la vertical.
3 Inclinación dada una velocidad
Cuando el motorista describe una curva, su centro de masas experimenta una aceleración normal hacia el interior de la curva, de valor,
Para producir esta aceleración debe existir una fuerza actuando en la dirección normal y hacia adentro. Esto se consigue de dos formas: girando la rueda delantera e inclinando el cuerpo. Ambas acciones deben realizarse a la vez, si se quiere evitar la caída.
Supongamos que en un instante dado la motocicleta se encuentra describiendo una curva de radio R con velocidad 
. Tomamos como eje OX el instantáneo que pasa por el centro de la circunferencia y el punto de apoyo de la moto. Como eje OY el vertical hacia arriba y como OZ el que sale hacia afuera de la pantalla o el papel. Entonces, si la dirección de avance de la motocicleta es hacia afuera, tenemos
El motorista se inclina hacia adentro de la curva, de forma que la línea que va desde el punto de apoyo A hasta el centro de masas forma un ángulo θ con la vertical, con lo que la posición del CM respecto al punto apoyo es
Sobre la moto, en este plano actúan tres fuerzas:
- El peso
- La reacción normal en A,
- La fuerza de rozamiento estático en A,
La ecuación de movimiento para el CM queda entonces
