Base vectorial girada
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
| Línea 30: | Línea 30: | ||
*De <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que <math>\vec{u}_1</math> no tiene componente en <math>\vec{k}</math> | *De <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que <math>\vec{u}_1</math> no tiene componente en <math>\vec{k}</math> | ||
| - | <center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=\cos(\theta) | + | <center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=(\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\cdot\vec{k}= \\ \cos(\theta)\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{k}}^{=0}+\mathrm{sen}(\theta)\overbrace{\vec{\jmath}\cdot\vec{k}}^{=0} = 0</math></center> |
*De <math>\vec{u}_2</math> consigo mismo | *De <math>\vec{u}_2</math> consigo mismo | ||
| Línea 38: | Línea 38: | ||
*De <math>\vec{u}_2</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> | *De <math>\vec{u}_2</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> | ||
| - | <center><math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u} | + | <center><math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath})\cdot\vec{k}= \\ -\mathrm{sen}(\theta)\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{k}}^{=0}+\cos(\theta)\overbrace{\vec{\jmath}\cdot\vec{k}}^{=0} = 0</math></center> |
*De <math>\vec{u}_3</math> consigo mismo | *De <math>\vec{u}_3</math> consigo mismo | ||
| Línea 44: | Línea 44: | ||
<center><math>\vec{u}_3\cdot\vec{u}_3=\vec{k}\cdot\vec{k} = 1</math></center> | <center><math>\vec{u}_3\cdot\vec{u}_3=\vec{k}\cdot\vec{k} = 1</math></center> | ||
| + | Por tanto, hemos demostrado que la relación anterior para los productos escalares se cumple y la base es ortonormal. | ||
==Transformación inversa== | ==Transformación inversa== | ||
==caso particular== | ==caso particular== | ||
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]] | ||
Revisión de 15:55 2 oct 2014
Contenido |
1 Enunciado
Considere la terna de vectores
- Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
- Halle la transformación inversa, es decir, exprese
como combinación de 
.
- Para el caso particular en que tg(θ) = 3 / 4, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector
en la nueva base.
2 Base ortonormal dextrógira
2.1 Base ortonormal
Para demostrar que se tra de una base ortonormal hay que probar que son unitarios y ortogonales entre sí, es decir
Calculamos entonces los productos escalares:
- De
consigo mismo
- De con
(y viceversa, por la conmutatividad)
- De con
(y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que no tiene componente en 
- De consigo mismo
- De con (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de con
- De consigo mismo
Por tanto, hemos demostrado que la relación anterior para los productos escalares se cumple y la base es ortonormal.
