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Dos esferas huecas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 24: Línea 24:
siendo <math>r</math> las distancia del punto de observación al centro de la esfera y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
siendo <math>r</math> las distancia del punto de observación al centro de la esfera y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
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En todos los cálculos aparece el mismo factor
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<center><math>\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0}=9\times 10^9\times 10^{9}\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}=9\,\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}</math></center>
Así, tenemos para los cuatro puntos lo siguiente:
Así, tenemos para los cuatro puntos lo siguiente:
Línea 29: Línea 33:
;Punto A: Este punto está dentro de la esfera de carga positiva y fuera de la negativa. Para esta última la distancia al centro es de 5&thinsp;cm y el vector unitario radial es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto
;Punto A: Este punto está dentro de la esfera de carga positiva y fuera de la negativa. Para esta última la distancia al centro es de 5&thinsp;cm y el vector unitario radial es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto
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<center><math>\vec{E}_A=\vec{0}+\frac{9\times 10^9\times \left(-10^{-9}\right)}{(0.05)^2}(-\vec{\imath})\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=+3600\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</math></center>
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<center><math>\vec{E}_A=\vec{0}+\frac{9}{(0.05)^2}(-\vec{\imath})\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=+3600\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</math></center>
;Punto B: Se encuentra en el interior de las dos esferas, por lo que
;Punto B: Se encuentra en el interior de las dos esferas, por lo que
Línea 45: Línea 49:
;Punto D: Por último, este punto se encuentra fuera de las dos esferas, a 8&thinsp;cm del centro de la esfera positiva y 5 de la negativa. El unitario radial es, en los dos casos <math>+\vec{\imath}</math>, lo que nos da
;Punto D: Por último, este punto se encuentra fuera de las dos esferas, a 8&thinsp;cm del centro de la esfera positiva y 5 de la negativa. El unitario radial es, en los dos casos <math>+\vec{\imath}</math>, lo que nos da
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<center><math>\vec{E}_D=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.08^2}+\frac{-10^{-9}}{0.05^2}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=-2194\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</math></center>
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<center><math>\vec{E}_D=\frac{9}{0.08^2}+\frac{-9}{0.05^2}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=-2194\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</math></center>
==Potencial eléctrico==
==Potencial eléctrico==
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El cálculo para el potencial es análogo. Basta con sumar los potenciales debidos a cada esfera.
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El potencial debido a una superficie esférica de radio <math>a</math> cargada uniformemente con una carga <math>Q</math> tiene la expresión
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<center><math>V=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a} & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a\end{cases}</math></center>
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siendo el valor numérico del primer caso
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<center><math>\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}=\frac{9}{0.04}\mathrm{V}=225\,\mathrm{V}</math></center>
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Esto nos da, para los cuatro puntos, siguiendo el mimso razonamiento que para el campo eléctrico
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;Punto A:
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<center><math>V_A = 225\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=+45\,\mathrm{V}</math></center>
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;Punto B:
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<center><math>V_B = 225\,\mathrm{V}-225\,\mathrm{V}=0\,\mathrm{V}</math></center>
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;Punto C:
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<center><math>V_C = \frac{9}{0.05}\mathrm{V}-225\mathrm{V}=-45\,\mathrm{V}</math></center>
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;Punto D:
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<center><math>V_D = \frac{9}{0.08}\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=-67.5\,\mathrm{V}</math></center>
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==Trabajo==
==Trabajo==
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío (GIE)]]
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Revisión de 19:24 17 jun 2014

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de cargas formado por dos superficies esféricas de radio b=4\,\mathrm{cm} cuyos centros distan a=3\,\mathrm{cm}, como indica la figura. Las superficies está cargadas uniformemente con cargas respectivas de +1\,\mathrm{nC} y -1\,\mathrm{nC}

Para los puntos marcados en la figura (en cm)

\vec{r}_A=-2\vec{\imath} \qquad \vec{r}_B=\vec{\imath}-\vec{\jmath} \qquad \vec{r}_C=4\vec{\imath}+3\vec{\jmath} \qquad \vec{r}_D=8\vec{\imath}
  1. Calcule el campo eléctrico.
  2. Calcule el potencial eléctrico.
  3. A partir de la integración de la fuerza, halle el trabajo que debe realizar un agente externo para mover cuasiestáticamente una carga de -1\,\mathrm{nC} desde el punto A al punto D moviéndola a lo largo del eje X.

2 Campo eléctrico

La solución de este problema es una simple aplicación del principio de superposición. Basta con hallar el campo de cada superficie esférica y luego sumar las dos contribuciones.

El campo debido a una superficie esférica de radio acargada uniformemente tiene la expresión

\vec{E}=\begin{cases}\vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > a\end{cases}

siendo r las distancia del punto de observación al centro de la esfera y \vec{u}_r el vector unitario radial hacia afuera.

En todos los cálculos aparece el mismo factor

\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0}=9\times 10^9\times 10^{9}\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}=9\,\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}

Así, tenemos para los cuatro puntos lo siguiente:

Punto A
Este punto está dentro de la esfera de carga positiva y fuera de la negativa. Para esta última la distancia al centro es de 5 cm y el vector unitario radial es -\vec{\imath}. Por tanto
\vec{E}_A=\vec{0}+\frac{9}{(0.05)^2}(-\vec{\imath})\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=+3600\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Punto B
Se encuentra en el interior de las dos esferas, por lo que
\vec{E}_B=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}
Punto C
Éste se halla dentro de la esfera de carga negativa y fuera de la positiva. La distancia al centro de esta es también de 5 cm, pero el unitario radial es ahora el que va en la dirección y sentido del vector 4\vec{\imath}+3\vec{\jmath}
\vec{u}_r=\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}
lo que da el campo
\vec{E}_C=3600\left(\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}+\vec{0}=\left(2880\vec{\imath}+2160\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Punto D
Por último, este punto se encuentra fuera de las dos esferas, a 8 cm del centro de la esfera positiva y 5 de la negativa. El unitario radial es, en los dos casos +\vec{\imath}, lo que nos da
\vec{E}_D=\frac{9}{0.08^2}+\frac{-9}{0.05^2}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=-2194\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}

3 Potencial eléctrico

El cálculo para el potencial es análogo. Basta con sumar los potenciales debidos a cada esfera.

El potencial debido a una superficie esférica de radio a cargada uniformemente con una carga Q tiene la expresión

V=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a} & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a\end{cases}

siendo el valor numérico del primer caso

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}=\frac{9}{0.04}\mathrm{V}=225\,\mathrm{V}

Esto nos da, para los cuatro puntos, siguiendo el mimso razonamiento que para el campo eléctrico

Punto A
V_A = 225\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=+45\,\mathrm{V}
Punto B
V_B = 225\,\mathrm{V}-225\,\mathrm{V}=0\,\mathrm{V}
Punto C
V_C = \frac{9}{0.05}\mathrm{V}-225\mathrm{V}=-45\,\mathrm{V}
Punto D
V_D = \frac{9}{0.08}\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=-67.5\,\mathrm{V}

4 Trabajo

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_esferas_huecas"

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